Remstraling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Remstraling ontstaat doordat een elektron afgebogen wordt in het elektrische veld van een atoomkern

Remstraling (uit het Duits, Bremsstrahlung) is een vorm van elektromagnetische straling die wordt uitgestraald als een geladen deeltje een acceleratie (of deceleratie) ondergaat, typisch bij het op een doel botsen van een versneld elektron in een röntgenbuis.

Het met hoge snelheid vliegende elektron wordt door botsing met de atomen in de anode sterk geremd en verliest hierbij veel van zijn snelheid; de verloren kinetische energie wordt als röntgenstraling uitgezonden.

Remstraling ontstaat wanneer elektronen aan een hoge snelheid een atoom binnenvliegen en onder de invloed van de kern van het atoom in hun baan afgebogen of zelfs volledig gestopt worden. Hierbij wordt de kinetische energie omgezet in röntgenstraling, in dit geval remstraling. Een andere manier om röntgenstraling op te wekken is aan de hand van karakteristieke straling.

Remstraling ontstaat ook in het heelal in emissienevels zoals H-II-gebieden en planetaire nevels die geioniseerd gas bevatten met een temperatuur van ongeveer 10.000 K.

Kwantummechanische beschrijving[bewerken]

De volledige kwantummechanische beschrijving werd ten eerste door Bethe en Heitler uitgevoerd [1]. Zij namen vlakke materiegolven voor elektronen aan die aan de kern van een atoom worden gebotst, en leidden daarmee een werkzame doorsnede af die de volledgie geometrie van dit process in verband met de frequentie van het geëmitteerde foton brengt. De differentielle werkzame doorsnede, die een kwantummechanische symmetrie voor paarproductie toont, is:


\begin{align}
d^4\sigma &=
\frac{Z^2\alpha_{fine}^3\hbar^2}{(2\pi)^2}\frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|}
\frac{d\omega}{\omega}\frac{d\Omega_i d\Omega_f d\Phi}{|\vec{q}|^4}\times
 \\
&\times \left[
\frac{\vec{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)^2}\left
(4E_i^2-c^2\vec{q}^2\right)\right. \\
&+ \frac{\vec{p}_i^2\sin^2\Theta_i}{(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)^2}\left
(4E_f^2-c^2\vec{q}^2\right)  \\
&+ 2\hbar^2\omega^2\frac{\vec{p}_i^2\sin^2\Theta_i+\vec{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)}
\\
&- 2\left.\frac{|\vec{p}_i||\vec{p}_f|\sin\Theta_i\sin\Theta_f\cos\Phi}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)}\left(2E_i^2+2E_f^2-c^2\vec{q}^2\right)\right].
\end{align}

Daarbij zijn Z het atoomnummer, \alpha_{fine}\approx 1/137 de fijnstructuurconstante, \hbar de gereduceerde constante van Planck en c de lichtsnelheid. De kinetische energie E_{kin,i/f} van het elektron in de begin- en eindtoestand hangen door


E_{i,f}=E_{kin,i/f}+m_e c^2=\sqrt{m_e^2 c^4+\vec{p}_{i,f}^2 c^2},

waarbij m_e de elektronmassa is, met zijn totale energie E_{i,f} of zijn impuls \vec{p}_{i,f} samen. De wet van behoud van energie levert


E_f=E_i-\hbar\omega,

waarbij  \hbar\omega de energie van het foton is. De richtingen van het geëmitteerde foton en het gestrooide elektron zijn gegeven door


\begin{align}
\Theta_i&=\sphericalangle(\vec{p}_i,\vec{k}),\\
\Theta_f&=\sphericalangle(\vec{p}_f,\vec{k}),\\
\Phi&=\text{Hoek tussen de vlakten } (\vec{p}_i,\vec{k}) \text{ en } (\vec{p}_f,\vec{k}).
\end{align}

De differentialen zijn gegeven door


\begin{align}
d\Omega_i&=\sin\Theta_i\ d\Theta_i,\\
d\Omega_f&=\sin\Theta_f\ d\Theta_f.
\end{align}

De absolute waarde van het virtuele foton tussen kern en elektron is


\begin{align}
-\vec{q}^2&=-|\vec{p}_i|^2-|\vec{p}_f|^2-\left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2+2|\vec{p}_i|\frac{\hbar}{c}
\omega\cos\Theta_i-2|\vec{p}_f|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_f\\
&+2|\vec{p}_i||\vec{p}_f|(\cos\Theta_f\cos\Theta_i+\sin\Theta_f\sin\Theta_i\cos\Phi).
\end{align}

De geldigheid is door de Born-nadering


v\gg\frac{Zc}{137}

gegeven, waar  v zowel de snelheid van het elektron in de begin- als in de eindtoestand kenmerkt.

Voor praktische toepassingen (bvb. in Monte Carlo codes) kan het van belang zijn de prioriteit op de relatie tussen de frequentie  \omega van het geëmitteerde foton en de hoek tussen dit foton en het inlopende elektron te leggen. Köhn und Ebert [2] integreerden de bovenstaande term over \Phi en \Theta_f en kregen:


\frac{d^2\sigma (E_i,\omega,\Theta_i)}{d\omega d\Omega_i
}=\sum\limits_{j=1}^{6} I_j

met


\begin{align}
I_1&=\frac{2\pi A}{\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}}
\ln\left(
\frac{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i-\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2
\Theta_i}(\Delta_1+\Delta_2)+\Delta_1\Delta_2}{-\Delta_2^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i
-\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2 \Theta_i}(\Delta_1-\Delta_2)+\Delta_1\Delta_2
}\right)  \\
&\times\left[1+\frac{c\Delta_2}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)}-\frac{p_i^2c^2\sin^2\Theta_i}
{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)^2}-\frac{2\hbar^2\omega^2p_f\Delta_2}{c(E_i-cp_i\cos
\Theta_i)(\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\right],\\
I_2&=-\frac{2\pi Ac}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)}\ln\left(
\frac{E_f+p_fc}{E_f-p_fc}\right), \\
I_3&=\frac{2\pi A}{\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i
}} \\
&\times\ln\Bigg(\Big((E_f+p_fc)(4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(E_f-p_fc)+(\Delta_1+\Delta_2)
((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc) \\
&-\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}))\Big)\Big((E_f-p_fc)
(4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(-E_f-p_fc)  \\
&+(\Delta_1-\Delta_2)
((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)-\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}))\Big)^{-1}
\Bigg) \\
&\times\left[-\frac{(\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)(E_f^3+E_fp_f^2c^2)+p_fc(2
(\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)E_fp_fc+\Delta_1\Delta_2(3E_f^2+p_f^2c^2))}{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\right.\\
&-\frac{c(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)} \\
&-\frac{4E_i^2p_f^2(2(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2-4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)(\Delta_1E_f+\Delta_2p_fc)}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)^2} \\
&+\left.\frac{8p_i^2p_f^2m^2c^4\sin^2\Theta_i(E_i^2+E_f^2)-2\hbar^2\omega^2p_i^2\sin^2\Theta_ip_fc(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)+
2\hbar^2\omega^2p_f m^2c^3(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}
{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\right], \\
I_4&=-\frac{4\pi Ap_fc(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}
-\frac{16\pi E_i^2p_f^2
A(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)^2}, \\
I_5&=\frac{4\pi A}{(-\Delta_2^2+\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)
((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\\
&\times\left[\frac{\hbar^2\omega^2p_f^2}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\right.\\
&\times\frac{E_f[2\Delta_2^2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(\Delta_2^2+\Delta_1^2)]
+p_fc[2\Delta_1\Delta_2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)+16\Delta_1\Delta_2p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i]}{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\\
&+ \frac{2\hbar^2\omega^2 p_i^2\sin^2\Theta_i(2\Delta_1\Delta_2
p_fc+2\Delta_2^2E_f+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i E_f)}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\\
&+\frac{2E_i^2p_f^2\{2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2
+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i[(\Delta_1^2+\Delta_2^2)(E_f^2+p_f^2c^2)
+4\Delta_1\Delta_2E_fp_fc]\}}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\\
&+\left.\frac{8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(E_i^2+E_f^2)(\Delta_2p_fc +\Delta_1
E_f)}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\right],\\
I_6&=\frac{16\pi E_f^2p_i^2\sin^2\Theta_i A}{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)^2
(-\Delta_2^2+\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)},

\end{align}

en


\begin{align}
A &= \frac{Z^2\alpha_{fine}^3}{(2\pi)^2}\frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|}
\frac{\hbar^2}{\omega} \\
\Delta_1&= -\vec{p}_i^2-\vec{p}_f^2-\left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2+2\frac{\hbar}{c}\omega|\vec{p}_i|\cos\Theta_i, \\
\Delta_2&= -2\frac{\hbar}{c}\omega|\vec{p}_f|+2|\vec{p}_i||\vec{p}_f|\cos\Theta_i.
\end{align}

Een analyse van de tweevoudige differentielle werkzame doorsnede toont bvb dat elektronen van wie de kinetische energie groter is dan de rustenergie (511 keV), fotonen overwegend naar voren uitzenden, waartegen elektronen met een lagere energie fotonen isotroop emitteren.

Noten[bewerken]

  1. Bethe, H.A., Heitler, W., 1934. On the stopping of fast particles and on the creation of positive electrons. Proc. Phys. Soc. Lond. 146, 83–112
  2. Koehn, C., Ebert, U., Angular distribution of Bremsstrahlung photons and of positrons for calculations of terrestrial gamma-ray flashes and positron beams, Atmos. Res. (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.atmosres.2013.03.012