Residu (complexe analyse)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is het residu een complex getal, dat gelijk is aan de contourintegraal van een meromorfe functie, die langs een pad een van haar singulariteiten omsluit. Meer in het algemeen kunnen residuen worden berekend voor elke functie

f: \mathbb{C} \setminus \{a_k \} \rightarrow \mathbb{C},

die holomorf is, behalve op de discrete punten {ak}, zelfs als sommige daarvan een essentiële singulariteit zijn. Residuen kunnen vrij gemakkelijk worden berekend, en staan, eenmaal bekend, de berekening van de algemene contourintegralen met behulp van de residustelling toe.

Definitie[bewerken]

Het residu van een meromorfe functie f op een geïsoleerde singulariteit a, vaak aangeduid als

\operatorname{Res}(f,a)

is de unieke waarde R zodanig dat

f(z)- R/(z-a)

een analytische primitieve functie heeft in een cirkelring

0<\vert z-a\vert<\delta.

Als alternatief kunnen residuen worden berekend door de Laurent-reeks uitbreidingen te vinden, en zijn soms gedefinieerd in termen van hen.

Residu[bewerken]

Laat f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_0)^n de Laurentontwikkeling zijn in het punt z_0, dan noemen we a_{-1} het residu van f op z_0 en noteren dat als: a_{-1}=Res_{z_0}f.

Stelling[bewerken]

Laat z_0 een geïsoleerde singulariteit zijn van f, en C een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt z_0 zodanig dat f differentieerbaar is op C en het inwendige van C, met uitzondering van het punt z_0 zelf. Dan:

 \oint_C f(\zeta)d\zeta=2\pi i a_{-1}=2 \pi i Res_{z_0}f

Residu formule[bewerken]

Laat U een open verzameling, en γ een gesloten ketting in U zijn. Laat f analytisch zijn op U op een eindig aantal punten na (z_1, z_2, ... ,z_n). Laat m_j het aantal windingen zijn van γ ten opzichte van het j-de punt. Dan:

 \oint_C f(\zeta)d\zeta=2 \pi i \sum_{j=1}^n Res_{z_j}f

Rekenregels voor residuen[bewerken]

Regel 1[bewerken]

Stel f heeft een singulariteit in z_0 en g is holomorf op z_0 dan:

 Res_{z_0}(fg)=g(z_0)Res_{z_0}(f).

Voorbeeld[bewerken]

Vind het residu van f(z)=\frac{z^2}{(z+1)(z-1)}. Kies dan twee functies g en h: g(z)=\frac{z^2}{z+1} en  h(z)=\frac{1}{z-1} . Hier volgt dan uit: Res_1(gh)=1/2 \cdot 1 = 1/2.

Regel 2[bewerken]

Stel f(z)=0, maar f'(z)\neq0. Dan heeft 1/f een orde 1 pool in z_0 en z_0 heeft een residu van 1/f gelijk 1/f'(z_0).

Voorbeeld[bewerken]

Vind het residu van f(z)=sin(z) in z=\pi. Dan volgt daaruit dat het residu 1/\sin(z)=1/\cos(\pi)=-1 is.