Ricci-tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Ricci-tensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de gewone Euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de Ricci-tensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte.

Formele definitie[bewerken]

Net als de metriek, is de Ricci-tensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een Riemann-variëteit. De Ricci-tensor kan bekomen worden als het spoor van de Riemann-tensor.

Meer precies, stel dat(M,g) een n-dimensionale Riemann-variëteit is. Noteer met T_pM de raakbundel van M ter hoogte van p. Voor elk paar

\xi, \eta\in T_pM

vectoren in de rakende ruimte, wordt the Ricci-tensor \mathrm{Ric} (\xi , \eta ) geëvalueerd met (\xi, \eta ) gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van

T_pM\to T_pM \!

gegeven door

\zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi

met R de Riemann-tensor.

Concreter, gegeven een bepaald coördinatensysteem, kunnen we dit in componenten uitschrijven als

\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j.

De coëfficiënten  R_{ij} zijn dan gegeven door

R_{ij} = {R^k}_{ikj}.,

in woorden: de Ricci-tensor is dus het spoor van de Riemann-tensor. In bovenstaande uitdrukking werd de sommatieconventie verondersteld. In termen van de Christoffelsymbolen wordt de Ricci-tensor gegeven door:


R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} =
{\Gamma^\rho_{\nu\sigma}}_{,\rho} - \Gamma^\rho_{\rho\sigma ,\nu}
+ \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
- \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma}
.

De Ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:

R_{ij}=R_{ji} .\!

Een variëteit met  R_{ij}=0 noemen we ook wel Ricci-vlak. In relativiteitstheorie zijn Ricci-vlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen van de ruimtetijd.

Zie ook[bewerken]