Richtingsveld

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het richtingsveld van dy/dx=x2-x-1, waar de blauwe, rode en turquoise lijnen respectievelijk staan voor (x3/3)-(x2/2)-x+4, (x3/3)-(x2/2)-x en (x3/3)-(x2/2)-x-4.

In de wiskunde is een richtingsveld een grafische weergave van de oplossingen van een eerste-orde differentiaalvergelijking. Een richtingsveld kan worden gemaakt zonder de differentiaalvergelijking analytisch op te lossen en is daarom nuttig. Een richtingsveld kan worden gebruikt om oplossingen kwalitatief te visualiseren of numeriek te benaderen.

Definitie[bewerken]

Gegeven een stelsel van differentiaalvergelijkingen

\frac{dx_1}{dt}=f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)
\frac{dx_2}{dt}=f_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)
\vdots
\frac{dx_n}{dt}=f_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)

is het richtingsveld een array van hellingsmarkeringen in de faseruimte (in elk willekeurig aantal dimensies, afhankelijk van het aantal relevante variabelen; bijvoorbeeld, twee in het geval van een eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking, zoals in het plaatje rechts te zien is.) Elke hellingsmarkering is gecentreerd op een punt (x_1,x_2,\ldots,x_n) en loopt parallel aan de vector

\begin{pmatrix} 1 \\ f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ f_2(x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ \vdots \\ f_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{pmatrix}.

Het aantal, de positie en lengte van de hellingmarkeringen kunnen willekeurig zijn. De posities worden meestal gekozen als (x_1,x_2,\ldots,x_n)=(a_1 \Delta x_1, a_2 \Delta x_2, \ldots, a_n \Delta x_n) voor willekeurige (maar meestal gelijke) \Delta x_i en voor alle gehele getallen a_i, die punten binnen de gekozen x_i intervallen produceren. De lengte van de hellingsmarkeringen is meestal geheel uniform en unitair of niet groter dan de kleinste van \Delta x_i.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Blanchard, Paul; Devaney, Robert L. en Hall, Glen R. (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1