Riemann-Siegel-formule

De Riemann-Siegel-formule is in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, een asymptotische formule voor de fout in de benadering van de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie, een benadering van de zèta-functie door een eindige som van twee eindige Dirichletreeksen.

De Riemann-Siegel-formule werd in 1932 door Carl Ludwig Siegel gevonden in een verzameling ongepubliceerde manuscripten van Bernhard Riemann uit de jaren 1850. Siegel leidde de formule af van de Riemann-Siegel-integraalformule, een expressie voor de zèta-functie waarin gebruik wordt gemaakt van contourintegralen. Ze wordt vaak gebruikt om waarden van de Riemann-Siegel-formule te berekenen, soms in combinatie met het algoritme van Odlyzko-Schönhage, dat de berekening aanzienlijk versnelt. Wanneer gebruikt langs de kritieke lijn, is het vaak nuttig de formule in een vorm te gebruiken, waarin het een formule voor de Z-functie wordt.

Als $M$ en $N$ niet-negatieve gehele getallen zijn, dan is de zèta-functie gelijk aan

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)$

waar

$\gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}$

de factor is die verschijnt in de functionele vergelijking ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s) en waarin

$R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x$

een contourintegraal is, waarvan de contour begint en eindigt op +∞ en de singulariteiten van de absolute waarde op ten hoogste 2πM omcirkelt. De geschatte functionaalvergelijking geeft een schatting van de grootte van de foutterm. Siegel en Edwards leiden de Riemann-Siegel-formule hieruit af door op deze integraal de methode van de steilste afdaling toe te passen om zo een asymptotische expansie van de foutterm $R(s)$ te geven als een reeks van negatieve machten van $\mathrm {Im} (s)$. In toepassingen ligt $s$ meestal op de kritieke lijn, en worden de positieve gehele getallen $M$ en $N$ gekozen om over 2πIm(s)^1/2.Gabcke vond in 1979 goede begrenzingen voor de fout in de Riemann-Siegel-formule.

Integraalformule van Riemann

Riemann liet zien dat

$\int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,\mathrm {d} u={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}$

waar de contour van de integratie een lijn is met helling –1 die tussen 0 en 1 passeert (Edwards, 1974, 7.9)

Hij gebruikte dit resultaat om de onderstaande integraalformula voor de zèta-functie te geven:

$\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,\mathrm {d} x+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,\mathrm {d} x$

Bronvermelding

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Riemann–Siegel formula op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

Referenties

• Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, 1995, Proceedings of the Royal Society. London. series A, Mathematical, Physical and Engineering Sciences, ISSN 0962-8444, Vol: 450, Issue 1939, blz. 439–462
• Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, vol 58, New York-London, Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0
• Wolfgang Gabcke, 1979, Georg-August-Universität Göttingen, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel
• Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol: 14, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3
• Siegel C.L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, blz. 45–80, 1932, herdrukt in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

Externe links

• X. Gourdon, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function
• Riemann–Siegel-formule op Mathworld