Riemann-oppervlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Riemann-oppervlakte voor de functie ƒ(z) = √z

In wiskunde, in het bijzonder in de complexe analyse, is een riemann-oppervlak, voor het eerst bestudeerd door en tevens vernoemd naar Bernhard Riemann, een één-dimensionale complexe variëteit. Riemann-oppervlakken kunnen worden gezien als "vervormde versies" van het complexe vlak: lokaal, in de buurt van een willekeurig punt zien ze eruit als aanhechtingen op het complexe vlak, maar de globale topologie kan heel anders zijn. Zo kan een riemann-oppervlak eruitzien als een bol, een torus of een paar aan elkaar geplakte vellen papier.

Het belangrijkste punt van riemann-oppervlakken is dat men holomorfe functies kan definiëren tussen twee riemann-oppervlakken. Riemann-oppervlakken worden tegenwoordig beschouwd als de natuurlijke context voor de studie naar het globale gedrag van holomorfe functies, met name de multi-gewaardeerde functies, zoals worteltrekken en andere algebraïsche functies, of ook de logaritmen.

Elk riemann-oppervlak is een twee-dimensionale reële analytische variëteit (dat wil zeggen, een oppervlak), maar het bevat meer structuur (in het bijzonder complexe structuur), nodig voor de eenduidige definitie van holomorfe functies. Een twee-dimensionale reële variëteit kan dan en slechts dan als in een riemann-oppervlak worden omgezet als deze variëteit oriënteerbaar is. De bol en de torus laten dus complexe structuren toe, waar de möbiusband, de kleinfles en het projectieve vlak zullen deze echter niet toelaten, aangezien zij niet oriënteerbaar zijn.

Geometrische feiten over riemann-oppervlakken zijn zo "mooi" mogelijk. Zij bieden vaak de intuïtie en motivatie voor veralgemenisering naar andere krommen en variëteiten. De stelling van Riemann-Roch is hier een voorbeeld van.

Definities[bewerken]

Er zijn verschillende gelijkwaardige definities van een riemann-oppervlak.

  1. Een riemann-oppervlak X is een complexe variëteit van complexe dimensie één. Dit betekent dat X een hausdorff-ruimte is die is uitgerust met een atlas: voor elk punt xX is er een omgeving die een x bevat die homeomorf is aan de eenheidsschijf van het complexe vlak. De afbeelding die de structuur van het complexe vlak naar het riemann-oppervlak meeneemt noemt men een kaart (en:chart). Daarnaast wordt vereist dat de transitieafbeelding tussen twee overlappende kaarten holomorf is.
  2. Een riemann-oppervlak is een riemann-variëteit van (reële) dimensie twee - vandaar de naam riemann-oppervlak - samen met een hoekgetrouwe structuur. Een variëteit betekent dat de ruimte lokaal, op elk punt x van X, verondersteld wordt zich te gedragen als in het reële vlak. Het voorvoegsel "Riemann" betekent dat X is uitgerust met een zogenaamde riemann-metriek g, die het toestaat om hoeken op de variëteit te meten. Twee van zulke metrieken worden als equivalent beschouwd, indien de gemeten hoeken hetzelfde zijn. Het kiezen van een metriek en dus ook een equivalentieklasse van metrieken op X is het aanvullende stuk informatie van de hoekgetrouwe structuur.

Een complexe structuur geeft aanleiding tot een hoekgetrouwe structuur door te kiezen voor de standaard euclidische metriek gegeven op het complexe vlak en deze met behulp van van de eerder genoemde kaarten (en:charts) mee te nemen naar X.

Voorbeelden[bewerken]

Het riemann-oppervlak.
  • Het complexe vlak C is misschien wel het meest basale riemann-oppervlak. De afbeelding f(z) = z (de identiteitsafbeelding) definieert een kaart voor C en {f} is een atlas voor C. De afbeelding g(z) = z* (de geconjugeerde afbeelding) definieert ook een kaart op C en {g} is een atlas voor C. De kaarten f en g zijn niet compatibel, zo dit rust C uit met twee verschillende riemann-oppervlak structuren. In feite, gegeven een riemann-oppervlak X en de atlas A, is de geconjugeerde atlas B = {f* : f ∈ A} nooit compatibel met A, en rust zij X uit met een verschillende, incompatibele riemann-structuur.
  • Op een soortgelijke manier kan iedere open deelverzameling van het complexe vlak op een natuurlijke manier als een riemann-oppervlak worden gezien. Meer in het algemeen geldt dat elke open deelverzameling van een riemann-oppervlak zelf ook een riemann-oppervlak is.
  • Laat S = C ∪ {∞} en laat f(z) = z, waar z in S \ {∞} is en g(z) = 1 / z, waar z in S \ {0} en 1/∞ is

gedefinieerd als 0. Dan zijn f en g kaarten, zij zijn compatibel, en { fg } is een atlas voor S, waardoor S een riemann-oppervlak wordt. Dit bijzondere oppervlak wordt de riemann-sfeer genoemd, omdat dit oppervlak kan worden geïnterpreteerd als het wikkelen van het complexe vlak rondom deze sfeer. In tegenstelling tot het complexe vlak, is deze riemann-sfeer compact.

Een torus.
  • Van de theorie van de compacte riemann-oppervlakken kan worden aangetoond dat deze equivalent is met die van de projectieve algebraïsche krommen die zijn gedefinieerd over de complexe getallen en die niet-singulier zijn. Bijvoorbeeld, de torus C/(Z + τ Z), waar τ een complexe niet-reëel getal is, die via de Weierstrass elliptische functie, geassocieerd met het rooster Z + τ Z, correspondeert met een elliptische kromme, die wordt gegeven door een vergelijking
y2 = x3 + a x + b
Tori zijn de enige riemann-oppervlakken van genus een, oppervlakken van hogere genera g worden geleverd door de hyperelliptische oppervlakken
y2 = P(x),
waar P is een complexe veelterm van graad 2g + 1.

Classificatie van riemann-oppervlakken[bewerken]

Het rijk van de riemann-oppervlakken kan worden verdeeld in drie regimes: hyperbolische, parabolische en elliptische riemann-oppervlakken, waar het onderscheid wordt gegeven door de uniformeringsstelling. Meetkundig corresponderen deze begrippen met negatieve kromming, nulkromming (plat), en positieve kromming: het formuleren van de uniformiseringsstelling in termen van de hoekgetrouwe meetkunde, elke verbonden riemann-oppervlak X erkent een unieke volledige 2-dimensionale reële riemann-metriek met constante kromming -1, 0 of 1 die dezelfde hoekgetrouwe structuur induceert - elke metriek is qua hoekgetrouwheid gelijkwaardig aan een constante kromming metriek. Het oppervlak X noemt men respectievelijk hyperbolisch, parabolisch en elliptisch.

Voor enkelvoudig samenhangende riemann-oppervlakken geeft de uniformiseringsstelling aan dat ieder enkelvoudig samenhangende aangesloten riemann-oppervlak qua hoekgetrouwheid equivalent is aan van de drie onderstaande gevallen:

elliptisch
de riemann-sfeer \widehat{\mathbf{C}} := C ∪ {∞}, ook aangeduid als de P1C
parabolisch
het complexe vlak C, of
hyperbolisch
de open schijf D := {zC : |z| < 1} of op gelijkwaardige wijze het bovenhalfvlak H := (zC: Im(z) > 0).

Het bestaan van deze drie soorten loopt parallel aan de verschillende soorten niet-euclidische meetkunden.

De algemene techniek van het associëren met een variëteit X van een universele dekkende ruimte Y, en de originele X uitdrukken als het quotiënt van Y door de groep van dektransformaties geeft een eerste overzicht van riemann-oppervlakken.

Elliptische riemann-oppervlakken[bewerken]

Per definitie zijn deze de oppervlakken X met een constante kromming +1. De riemann-sfeer C ∪ {∞} is het enige voorbeeld. (Elliptische functies zijn voorbeelden van parabolische riemann-oppervlakken. De naamgeving komt uit de geschiedenis: elliptische functies zijn gekoppeld aan elliptische integralen, die op hun beurt weer opduiken in de berekening van de omtrek van ellipsen).

Parabolische riemann-oppervlakken[bewerken]

Per definitie zijn dit de oppervlakken X met een constante kromming 0. Op gelijkwaardige wijze moet, door de uniformeringsstelling, de universele overdekking van X het complexe vlak zijn.

Er zijn dan drie mogelijkheden voor X. Het kan het vlak zelf zijn, een annulus of een torus

T := C / (Z ⊕ τZ).

De verzameling van weergaven van de nevenverzamelingen worden fundamentele domeinen genoemd.

Men dient zich te realiseren dat twee tori altijd homeomorf aan elkaar, maar in het algemeen niet biholomorf aan elkaar zijn. Dit is de eerste verschijning van het probleem van de moduli. De modulus van een torus kan worden gevangen in een enkel complex getal τ met een positief imaginair deel. In feite is de gemarkeerde moduliruimte (Teichmüller-ruimte) van de torus biholomorf met het bovenste halfvlak of op gelijkwaardige wijze de open eenheidsschijf.

Hyperbolische riemann-oppervlakken[bewerken]

De riemann-oppervlakken met kromming -1 worden hyperbolisch genoemd. Deze groep is de "grootste".

De gevierde afbeeldingstelling van Riemann stelt dat elke enkelvoudig aangesloten strikte deelverzameling van het complexe vlak biholomorf is aan de eenheidsschijf. Daarom is de open schijf met de poincaré-metriek van constante kromming -1 het lokale model van een hyperbolisch riemann-oppervlak. Volgens de uniformeringsstelling hierboven zijn alle hyperbolische oppervlakken quotiënten van de eenheidsschijf.

Voorbeelden hiervan zijn alle oppervlakken met een genus g > 1, zoals hyper-elliptische krommen.

Voor elk hyperbolische riemann-oppervlak is de fundamentaalgroep isomorf met de fuchs-groep. Het oppervlak kan dus gemodelleerd worden door een fuchs-model H/Γ, waar H het bovenhalfvlak en Γ de fuchs-groep is. De verzameling van weergaven van de nevenklassen van H/Γ zijn vrije regelmatige verzamelingen en kan worden gevormd in en op metrische fundamentele veelhoeken. Quotiënt-structuren, zoals H/Γ, zijn veralgemeend naar shimura-variëteiten.

In tegenstelling tot de elliptische en parabolische oppervlakken is er geen classificatie van de hyperbolische oppervlakken mogelijk. Elke verbonden open strikte deelverzameling van het vlak geeft een hyperbolische oppervlak; beschouw het vlak minus een cantor-verzameling. Een classificatie is mogelijk voor oppervlakken van het eindige type: die met eindig gegenereerde fundamentaalgroepen. Elk van deze heeft een eindig aantal moduli en op die wijze een eindig-dimensionale teichmüller-ruimte. Het probleem van de moduli (opgelost door Lars Ahlfors en uitgebreid door Lipman Bers) diende om Riemanns claim te rechtvaardigen voor een gesloten oppervlak van het geslacht g, 3g - 3 complexe parameters volstaan.

Wanneer een hyperbolisch oppervlak compact is, dan is de totale oppervlakte van het oppervlak gelijk aan 4π(g - 1), waar g het genus van het oppervlak is; de oppervlakte wordt verkregen door de stelling van Gauss-Bonnet toe te passen op het oppervlak van de fundamentele veelhoek.

Externe link[bewerken]