Ring van de gehele getallen

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de ring van de gehele getallen de verzameling van gehele getallen, die tot een algebraïsche structuur Z, uitgerust met de operaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. De ring van de gehele getallen is een commutatieve ring.

Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van een algebraïsch getallenlichaam K, vaak aangeduid met O_K (of $\mathcal O_K$), de ring van algebraïsche gehele getallen in K.

Door gebruik te maken van deze notatie, kunnen we Z = O_Q schrijven, dit aangezien Z, zoals hierboven, de ring van gehele getallen van het veld Q van de rationale getallen is. En inderdaad worden in de algebraïsche getaltheorie de elementen van Z daarom vaak de "rationale gehele getallen" genoemd..

Een alternatieve term is maximale orde, dit aangezien de ring van gehele getallen van een getallenlichaam inderdaad de unieke maximale orde in dit getallenlichaam is.

De ring van gehele getallen O_K is een Z-moduul; wat lang niet zo duidelijk is dat het een vrij Z-moduul is en dus een integrale basis heeft, waarmee wij bedoelen dat er een b₁ ,..., b_n O ∈ _K bestaat (de integrale basis), zodanig dat elk element x in O_K op unieke wijze kan worden weergegeven

$x=\sum_{i=1}^na_ib_i,$

met a_i ∈ Z. De rang n van O_K als een vrije Z-moduul is gelijk aan de graad van K over Q.

Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijn Dedekind-domeinen.

Voorbeelden

Indien ζ een p-de eenheidswortel en K = Q(ζ) het corresponderende cyclotomisch veld is, dan wordt een integraal basis van O_K = Z[ζ] gegeven door (1, ζ, ζ ², ..., ; ζ^p-2).

Als d een kwadraatvrij geheel getal en K = Q(d^1/2) het corresponderende kwadratisch veld is, dan wordt een integrale basis van O_K gegeven door (1, (1 + d^1/2)/2) als d ≡ 1 (mod 4) en door (1, d^1/2) als d ≡ 2 of 3 (mod 4).

De ring van p-adische getallen Z_p is de ring van gehele getallen van een p-adisch getal Q_p.

Zie ook

• Kwadratisch geheel getal