Rotatiematrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Draaiing om de oorsprong kan in de wiskunde beschreven worden door een matrix die wel rotatiematrix genoemd wordt.

In twee dimensies[bewerken]

In twee dimensies wordt een draaiing om de oorsprong (tegen de klok in) over een hoek θ met de volgende matrix beschreven:


  \begin{bmatrix} 
    \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
    \sin{\theta} & \cos{\theta} 
  \end{bmatrix}.

Draaiing van het punt (x,y) levert het beeldpunt (x',y'), gegeven door:

\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=  
:\begin{bmatrix} 
    \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
    \sin{\theta} & \cos{\theta} 
 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} x \cos \theta -y \sin\theta\\x \sin\theta + y \cos\theta\end{bmatrix}

In drie dimensies[bewerken]

In drie dimensies wordt een draaiing om de z-as over een hoek θ (in positieve draaizin) met de volgende matrix beschreven. Deze matrices gelden enkel voor een rechtsdraaiend assenstelsel.


  \begin{bmatrix} 
    \ \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\
    \ \sin{\theta} & \cos{\theta}  &0 \\
    \ 0 & 0 & 1 
  \end{bmatrix}

Om de x-as:


  \begin{bmatrix} 
    \ 1 & 0 & 0\\
    \ 0 & \cos{\theta}  & -\sin{\theta} \\
    \ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta}
  \end{bmatrix}

Om de y-as:


  \begin{bmatrix} 
    \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} \\
    \ 0 & 1  &0 \\
    -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta}
  \end{bmatrix}

Eigenschappen[bewerken]

Wanneer opeenvolgende draaiingen uitgevoerd worden, bijvoorbeeld eerst een rotatie over α en daarna over β dan is het effect van de opeenvolgende rotaties gelijk aan een rotatie over de som α+β van de hoeken. In matrixvorm:


  \begin{bmatrix} 
    \cos{\alpha} & \sin{\alpha} \\
    -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} 
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} 
    \cos{\beta} & \sin{\beta} \\
     -\sin{\beta} & \cos{\beta} 
  \end{bmatrix}=  \begin{bmatrix} 
    \cos (\beta+\alpha) & \sin(\beta+\alpha) \\
    -\sin(\beta+\alpha) & \cos(\beta+\alpha) 
  \end{bmatrix}

Hieruit volgt/wordt gebruikgemaakt van de regels van Simpson.