Rotatiematrix

Draaiing om de oorsprong kan in de wiskunde beschreven worden door een matrix die wel rotatiematrix genoemd wordt.

In twee dimensies

In twee dimensies wordt een draaiing om de oorsprong (tegen de klok in) over een hoek θ met de volgende matrix beschreven:

$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}.$

Draaiing van het punt (x,y) levert het beeldpunt (x',y'), gegeven door:

$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}= :\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x \cos \theta -y \sin\theta\\x \sin\theta + y \cos\theta\end{bmatrix}$

In drie dimensies

In drie dimensies wordt een draaiing om de z-as over een hoek θ (in positieve draaizin) met de volgende matrix beschreven. Deze matrices gelden enkel voor een rechtsdraaiend assenstelsel.

$\begin{bmatrix} \ \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ \ \sin{\theta} & \cos{\theta} &0 \\ \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Om de x-as:

$\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0\\ \ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \ 0 & \sin{\theta} & cos{\theta} \end{bmatrix}$

Om de y-as:

$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} \\ \ 0 & 1 &0 \\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{bmatrix}$

Eigenschappen

Wanneer opeenvolgende draaiingen uitgevoerd worden, bijvoorbeeld eerst een rotatie over α en daarna over β dan is het effect van de opeenvolgende rotaties gelijk aan een rotatie over de som α+β van de hoeken. In matrixvorm:

$\begin{bmatrix} \cos{\alpha} & \sin{\alpha} \\ -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{\beta} & \sin{\beta} \\ -\sin{\beta} & \cos{\beta} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos (\beta+\alpha) & \sin(\beta+\alpha) \\ -\sin(\beta+\alpha) & \cos(\beta+\alpha) \end{bmatrix}$

Hieruit volgt/wordt gebruik gemaakt van de regels van Simpson.