Ruimte (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een hiërarchie van wiskundige ruimten: Het inwendig product induceert een norm. De norm induceert op zijn beurt een metriek. De metriek induceert vervolgens een topologie.

In de wiskunde is een ruimte een verzameling die voorzien is van een structuur.

Soorten van wiskundige ruimten vormen vaak een hiërarchie, dat wil zeggen dat een soort van ruimten al zijn kenmerken kan erven van een oudersoort van ruimten. Zo zijn alle inwendig-productruimten tevens ook genormeerde vectorruimten, dit omdat het inwendig product een norm aan deze inwendig-productruimte oplegt, zodanig dat:

 \|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.

De moderne wiskunde behandelt het begrip "ruimte" heel anders dan in de klassieke wiskunde. Daar betekent de term ruimte: een model van de fysische ruimte (zie ruimte (natuurkunde)), waarin iedere mogelijke plaats gekenmerkt wordt door een verzameling van drie getallen, coördinaten genaamd. Het woord ruimtemeetkunde verwijst naar deze oorspronkelijke interpretatie: de studie van meetkundige objecten in een driedimensionale vectorruimte over het getallenlichaam der reële getallen.

Meestal wordt uit de context duidelijk met welk ruimtebegrip men te maken heeft.

Taxonomie van ruimten[bewerken]

Hoogste classificatieniveau[bewerken]

Ruimten worden op drie niveaus geclassificeerd. Gegeven het feit dat elke wiskundige theorie haar objecten aan de hand van enkele van hun eigenschappen beschrijft, is de eerste vraag die men zich moet stellen: welke eigenschappen?

Het hoogste classificatieniveau maakt bijvoorbeeld onderscheid tussen Euclidische- en projectieve ruimten, aangezien de afstand tussen twee punten in de Euclidische ruimte wel en in de projectieve ruimten niet is gedefinieerd. De Euclidische en de projectieve ruimte zijn ruimten van verschillende aard.

Een ander voorbeeld. De vraag "wat is de som van de drie hoeken van een driehoek" is in de context van de Euclidische ruimte een zinvolle vraag, maar niet in de context van een projectieve ruimte; dit zijn ruimtes van verschillende aard. In een niet-Euclidische ruimte is de vraag wel zinvol, maar zal deze vraag een ander antwoord kennen, wat echter geen hoogste classificatieniveau-onderscheid is.

Het onderscheid tussen een Euclidische vlak en een driedimensionale Euclidische ruimte is ook geen onderscheid op het hoogste classificatieniveau; de vraag "wat is de dimensie" is immers in beide gevallen zinvol.

In termen van Bourbaki [1] wordt het hoogste classificatieniveau gerelateerd aan de "typerende karakterisering" (of "typering"). Dit is echter niet hetzelfde (aangezien twee gelijkwaardige structuren in typering kunnen verschillen).

Middelste classificatieniveau[bewerken]

Op het middelste classificatieniveau houdt men rekening met antwoorden op bijzondere belangrijke vragen (daaronder ook de zinnige vragen van het hoogste classificatieniveau). Op dit niveau wordt bijvoorbeeld onderscheid gemaakt tussen Euclidische en niet-Euclidische ruimten; tussen eindig-dimensionale en oneindig-dimensionale ruimten; tussen compacte- en niet-compacte ruimten, enz.

In termen van Bourbaki[1] is het middelste classificatieniveau de indeling in "soorten". In tegenstelling tot de biologische taxonomie kan een ruimte echter tot verschillende "soorten" behoren.

Laagste classificatieniveau[bewerken]

Op het laagste classificatieniveau neemt men, grosso modo, antwoorden op alle mogelijke vragen (die zinvol zijn op het hoogste classificatieniveau) in beschouwing. Op dit niveau maakt men bijvoorbeeld onderscheid tussen ruimten van verschillende dimensie, maar maakt men geen onderscheid tussen aan de ene kant een vlak van een driedimensionale Euclidische ruimte, die wordt behandeld als een tweedimensionale Euclidische ruimte, en de verzameling van alle paren van reële getallen, ook behandeld als een tweedimensionale Euclidische ruimte. Ook wordt geen onderscheid gemaakt tussen de verschillende Euclidische modellen van dezelfde niet-Euclidische ruimte.

Meer formeel wordt op laagste classificatieniveau ruimten geclassificeerd "upto" isomorfisme. Een isomorfisme tussen twee ruimten wordt gedefinieerd als een een-op-een-correspondentie tussen de punten van de eerste ruimte en de punten van de tweede ruimte, die alle relaties tussen deze punten bewaart, en dat bepaald door de gegeven "typering". Wederzijdse isomorfe ruimten beschouwt men als kopieën van een enkele ruimte. Als een van hen tot een bepaalde "soort" behoort dan doen zij dat allemaal.

De notie van isomorfisme werpt licht op het hoogste classificatieniveau. Gegeven een een-op-een-correspondentie tussen twee ruimten van hetzelfde type, kan men zich afvragen of deze correspondentie al of niet een isomorfisme is. Deze vraag heeft geen zin voor twee ruimten van verschillende typen.

Isomorfismen van een ruimte naar zichzelf noemt men automorfismen. Automorfismen van een Euclidische ruimte zijn bewegingen en spiegelingen. Een Euclidische ruimte is homogeen in de zin dat elk punt kan worden getransformeerd in elk willekeurig andere punten door enig automorfisme.

Voorbeelden[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. a b Bourbaki, 1968, Hoofdstuk IV