Ruimtegroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kristallografie en de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, geeft een ruimtegroep (of Fedorov-groep) een beschrijving van de symmetrie van een kristal. Het is een groep van symmetrie-operatoren, die de ruimte vult. Ruimtegroepen bestaan uit een combinatie van translatie- en rotatiesymmetrieën.

Geschiedenis[bewerken]

De ruimtegroepen in 3 dimensies werden in 1891 voor het eerst geclassificeerd door Yevgraf Fjodorov en onafhankelijk daarvan kort daarna, in 1894, door de geoloog William Barlow en door de wiskundige, Arthur Moritz Schoenflies. Deze eerste classificaties bevatten nog verschillende kleine fouten. De correcte lijst van precies 230 ruimtegroepen in drie dimensies kwam tot stand in een correspondentie tussen Fjodorov en Schönflies.

Ruimtegroepen en dimensie van de ruimte[bewerken]

  • Al meerdere eeuwen is bekend dat er in twee dimensies precies 17 verschillende ruimtegroepen zijn. Die worden behangpatroongroepen genoemd. Een patroon in 2 dimensies zonder translatie (alleen rotatie en eventueel spiegeling) wordt een rozet genoemd.
  • In de 3-dimensionale ruimte zijn er zonder onderscheid tussen x-, y- en z- richting 219 ruimtegroepen, door onderscheid te maken tussen x-, y- en z-richting komen 11 groepen voor als enantiomorfe paren. Dit brengt het totaal op precies 230 verschillende 3-dimensionale ruimtegroepen.
Ruimtegroepen zijn vooral voor de kristallografie en de structuurbepaling middels Röntgendiffractie van groot belang. Voor de bepaling van magnetische structuren middels neutronendiffractie is het nodig ook rekening te houden met de richting van ongepaarde elektronspins. Dit kan geschieden door de ruimtegroepen uit te breiden met een nieuw symmetrie-element R, dat wel tijdsinversie genoemd wordt. Dit element keert de richting van een spin om zonder verder iets aan de atomaire structuur te veranderen. Door dit extra genererend element worden, net als bij de puntgroepen, dubbelgroepen gevormd en zo verkrijgt men de 1651 magnetische ruimtegroepen.

Klassificatie van de 230 ruimtegroepen[bewerken]

De 230 ruimtegroepen, en dus ook de kristallen die de symmetrie-elementen van een van deze hebben, kunnen onderverdeeld worden naar de 7 kristalstelsels, naar de 14 Bravaisroosters en naar de 32 kristallografische puntgroepen. Omgekeerd genereren de 14 Bravaisroosters en de 32 puntgroepen samen de 230 ruimtegroepen. Er zijn 14 x 32 = 448 mogelijke combinaties. Vanwege isomorfisme wordt dit aantal teruggebracht tot 230 verschillende ruimtegroepen.

Nuvola single chevron right.svg Zie Kristalstructuur, Bravaistralie en Puntgroep voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Voor de classificatie van de ruimtegroepen wordt gebruikgemaakt van de internationale notatie, dit is de verkorte vorm van de Hermann-Mauguinnotatie; de symbolen voor de Bravaisroosters zijn daarbij gecombineerd met de symbolen voor de puntgroepen. Omdat er in de loop der jaren kleine (meestal land-bepaalde) notatieverschillen zijn ontstaan, is omwille van de eenduidigheid aan iedere ruimtegroep een officieel nummer gegeven van 1 t/m 230. [1]


Puntgroep Nummer Ruimtegoep naar puntgroep en naar kristalstelsel
Triklien
1 1 P1  
1 2 P1  
Monoklien
2 3-5 P2 P21 C2  
m 6-9 Pm Pc Cm Cc  
2/m 10-15 P2/m P21/m C2/m P2/c P21/c C2/c  
Orthorombisch
222 16-24 P222 P2221 P21212 P212121 C2221 C222 F222 I222
I212121  
mm2 25-46 Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2 Pmn21 Pba2
Pna21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Aem2 Ama2
Aea2 Fmm2 Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2  
mmm 47-74 Pmmm Pnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca
Pbam Pccn Pbcm Pnnm Pmmn Pbcn Pbca Pnma
Cmcm Cmce Cmmm Cccm Cmme Ccce Fmmm Fddd
Immm Ibam Ibca Imma  
Tetragonaal
4 75-80 P4 P41 P42 P43 I4 I41  
4 81-82 P4 I4  
4/m 83-88 P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a  
422 89-98 P422 P4212 P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212
I422 I4122  
4mm 99-110 P4mm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc
I4mm I4cm I41md I41cd  
42m 111-122 P42m P42c P421m P421c P4m2 P4c2 P4b2 P4n2
I4m2 I4c2 I42m I42d  
4/mmm 123-142 P4/mmm P4/mmc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/nnc P4/nmm P4/ncc
P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm
I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd  
Trigonaal
3 143-146 P3 P31 P32 R3  
3 147-148 P3 R3  
32 149-155 P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32  
3m 156-161 P3m1 P31m P3c1 P31c R3m R3c  
3m 162-167 P31m P31c P3m1 P3c1 R3m R3c  
Hexagonaal
6 168-173 P6 P61 P65 P62 P64 P63  
6 174 P6  
6/m 175-176 P6/m P63/m  
622 177-182 P622 P6122 P6522 P6222 P6422 P6322  
6mm 183-186 P6mm P6cc P63cm P63mc  
6m2 187-190 P6m2 P6c2 P62m P62c  
6/mmm 191-194 P6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc  
Kubisch
23 195-199 P23 F23 I23 P213 I213  
m3 200-206 Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 I3 Pa3 Ia3  
432 207-214 P432 P4232 F432 F4132 I432 P4332 P4132 I4132
43m 215-220 P43m F43m I43m P43n F43c I43d  
m3m 221-230 Pm3m Pn3n Pm3n Pn3m Fm3m Fm3c Fd3m Fd3c
Im3m Ia3d  
Bronnen, noten en/of referenties
  1. Dit Klassificatie van de 230 ruimtegroepen of een eerdere versie ervan is (gedeeltelijk) vertaald vanaf de Franstalige Wikipedia, die onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.