Samengestelde relatie

In de abstracte verzamelingenleer kan met behulp van twee relaties tussen verzamelingen soms een nieuwe relatie gevormd worden, de samengestelde relatie.

Definitie

We gebruiken het bewerkingsteken $\times$ voor het cartesisch product van twee verzamelingen. Zij $R$ een relatie tussen twee verzamelingen $A$ en $B$, en zij $S$ een relatie tussen $B$ en een derde verzameling $C$:

$R\subset A\times B,\ S\subset B\times C$

Dan definiëren we de samengestelde relatie van $R$ en $S$ als volgt

$S\circ R=\left\{(a,c)\in A\times C|\exists b\in B:(a,b)\in R\hbox{ en }(b,c)\in S\right\}$

De notatie $S\circ R$ wordt soms gelezen als "$S$ komt na $R$".

Voorbeeld

Beschouw de volgende twee relaties tussen de natuurlijke getallen $\mathbb{N}$ en zichzelf:

$R=\{(0,0),(1,2),(2,4)\}$

$S=\{(0,5),(0,10),(4,2),(4,4)\}$

Dan is hun samengestelde relatie

$S\circ R=\{(0,5),(0,10),(2,2),(2,4)\}$

In dit geval heeft ook $R\circ S$ zin, en

$R\circ S=\{(4,4)\}$

Verband met transitiviteit

Een relatie $R\subset A\times A$ op een verzameling $A$ is transitief als $R\circ R$ een deel is van $R$ zelf.

Samengestelde afbeelding

Als $f$ een afbeelding is van $A$ naar $B$, en $g$ is een afbeelding van $B$ naar $C$, dan is $g\circ f$ een afbeelding van $A$ naar $C$, samengestelde afbeelding genoemd.

Voorbeeld

Beschouw de reële functies $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^2$ en $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x-1$. Dan bestaan zowel $g\circ f$ als $f\circ g$, en

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2-1$

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x-1)^2$

Permutatiegroep

Als $f$ en $g$ permutaties zijn van een gegeven verzameling $A$, dan is $g\circ f$ dat ook. De verzameling van alle mogelijke permutaties van $A$ vormt met de bewerking $\circ$ een (niet noodzakelijk commutatieve) groep, genoteerd $\mathcal{S}(A)$ en genaamd de symmetrische groep op $A$.

Zie ook

• Functie-compositie