Samengestelde relatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte verzamelingenleer kan met behulp van twee relaties tussen verzamelingen soms een nieuwe relatie gevormd worden, de samengestelde relatie.

Definitie[bewerken]

Zij R een relatie tussen twee verzamelingen A en B, dus R is een deelverzameling van het cartesisch product A\times B, en S een relatie tussen B en C:

R\subset A\times B,\ S\subset B\times C

De samengestelde relatie van R en S is gedefinieerd als

S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid\exists b\in B:(a,b)\in R\hbox{ en }(b,c)\in S\}

De notatie S\circ R wordt soms gelezen als "S (komt) na R".

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de volgende twee relaties tussen de natuurlijke getallen \mathbb{N} en zichzelf:

R=\{(0,0),(1,2),(2,4)\}
S=\{(0,5),(0,10),(4,2),(4,4)\}

Dan is hun samengestelde relatie

S\circ R=\{(0,5),(0,10),(2,2),(2,4)\}

In dit geval heeft ook R\circ S zin, en

R\circ S=\{(4,4)\}

Verband met transitiviteit[bewerken]

Een relatie R\subset A\times A op een verzameling A is transitief als R\circ R een deel is van R zelf.

Samengestelde afbeelding[bewerken]

Als f een afbeelding is van A naar B, en g is een afbeelding van B naar C, dan is g\circ f een afbeelding van A naar C, samengestelde afbeelding genoemd.

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de reële functies f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^2 en g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x-1. Dan bestaan zowel g\circ f als f\circ g, en

(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2-1
(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x-1)^2

Permutatiegroep[bewerken]

Als f en g permutaties zijn van een gegeven verzameling A, dan is g\circ f dat ook. De verzameling van alle mogelijke permutaties van A vormt met de bewerking \circ een (niet noodzakelijk commutatieve) groep, genoteerd \mathcal{S}(A) en genaamd de symmetrische groep op A.

Zie ook[bewerken]