Scalaire vermenigvuldiging

In de lineaire algebra is een scalaire vermenigvuldiging een bewerking die aan een vermenigvuldiging van getallen doet denken, maar waarbij slechts één van de twee leden echt de benaming "getal" verdient. Het andere lid is gewoonlijk een vector.

Niet te verwarren met scalair product, een synoniem voor inwendig product.

Definitie

Zij $R\times M$ het cartesisch product van een ring $R$ met een commutatieve groep $M$.

Formeel is een scalaire vermenigvuldiging een afbeelding $f$ van $R\times M$ naar $M$ die op de volgende wijze compatibel is met de ring- en groepsstructuur:

1. Linksdistributief: $\forall r_1,r_2\in R, m\in M:f(r_1+r_2,m)=f(r_1,m)+f(r_2,m)$
2. Rechtsdistributief: $\forall r\in R, m_1,m_2\in M:f(r,m_1+m_2)=f(r,m_1)+f(r,m_2)$
3. Gemengd associatief: $\forall r_1,r_2\in R, m\in M:f(r_1.r_2,m)=f(r_1,f(r_2,m))$

In de context van commutatieve ringen met eenheidselement eist men bovendien meestal dat

$f(1,m)=m$.

Bovenstaande functionele notatie is omslachtig, en men noteert het scalair product van $r$ en $m$ gewoon $rm$

Een dergelijke combinatie $(R,M,f)$ noemt men een (linker)moduul. Als $R$ een lichaam is, spreken we van een vectorruimte.

Meetkundige interpretatie

De vector $rm$ is een uitgerekte of ingekrompen versie van de vector $m$, en $r$ is de schaalfactor.

Als $m_1$ en $m_2$ twee verschillende vectoren zijn en $r$ een schaalfactor verschillend van 0, dan is de rechte die $m_1$ en $m_2$ verbindt, evenwijdig met de rechte die $rm_1$ en $rm_2$ verbindt.

Voorbeelden

• Opblazen van het reële coördinatenvlak met een reële schaalfactor $r$:

$f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2:(r,(x,y))\mapsto(rx,ry)$

• $f:\mathbb{Z}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}:(z,r)\mapsto zr$

• Algemener, zij $G$ een willekeurige commutatieve groep:

$f:\mathbb{Z}\times G\to G:(z,g)\mapsto g+g+\cdots+g$ ($z$ keer)

(als $z$ negatief is, $|z|$ keer het invers element van $g$ bij zichzelf optellen)

• Bovenstaande afbeelding bestaat nog steeds als $G$ niet commutatief is, maar ze respecteert niet langer de distributiviteitseigenschappen.

• Noteer $\mathbb{Z}_2=\{\overline0,\overline1\}$ voor het commutatief lichaam der restklassen bij deling door $2$, en zij $G$ een commutatieve groep. De afbeelding die $(\overline0,g)$ op $0$ en $(\overline1,g)$ op $g$ afbeeldt, is een scalaire vermenigvuldiging.