Scharnierstelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Bewijs van de scharnierstelling.

De scharnierstelling zegt dat als van twee driehoeken die twee gelijke zijden hebben, de hoek tussen deze zijden bij de ene diehoek groter is dan bij de andere, ook de derde zijde van die driehoek groter is dan bij de andere.

In symbolen: Laat ABC en A'B'C' de twee diehoeken zijn met gelijke zijden AB = A'B' en AC = A'C', en zij ∠BAC > ∠ B'A'C'; dan is ook BC > B'C'.

Bewijzen[bewerken]

De stelling is een direct gevolg van de cosinusregel en het feit dat de cosinus een strikt dalende functie is op het interval [0,π].

Er is ook een meetkundig bewijs dat geen beroep doet op goniometrische functies. We laten van de twee gegeven driehoeken AB en A'B' samenvallen, en noemen dit lijnstuk voor het gemak gewoon AB. Nu snijden we de bissectrice van ∠CAC' met BC. Het snijpunt noemen we D. Nu geldt dat driehoeken DAC en DAC' congruent zijn vanwege het ZHZ argument, dus in het bijzonder geldt dat DC=DC'. Vanwege de driehoeksongelijkheid volgt hieruit dat BC'< BD + DC' = BD + DC = BC. Q.E.D.