Schwarzschildmetriek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Algemene relativiteitstheorie
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}
(de Einstein-vergelijking)

Schwarzschildmetriek (genoemd naar Karl Schwarzschild) is een exacte, asymptotisch vlakke, statische en sferisch symmetrische oplossing van de Einstein-vergelijkingen. Het beschrijft tijddilatatie door beweging en door nabijheid van een sferisch symmetrische massa. Het beschrijft daarmee ook hoe een zwart gat er uit ziet volgens de algemene relativiteitstheorie.

Geschiedenis en context[bewerken]

De algemene relativiteitstheorie van Einstein volgde de gravitatietheorie van Newton op als een meer precieze beschrijving van zwaartekracht. Hoewel eleganter, is de theorie van Einstein wiskundig moeilijker. Ook de evolutie van gravitationele systemen is moeilijker te beschrijven. De relatief eenvoudige gravitatiewet van Newton wordt immers vervangen door de (veel ingewikkeldere) Einstein-vergelijkingen. Toen Einstein zijn theorie publiceerde, was het niet duidelijk of er wel exacte oplossingen van zijn vergelijkingen zouden bestaan. (Oorspronkelijk dacht hij zelf van niet.) Daarnaar werd echter wel gezocht, aangezien zo een oplossing veel inzicht zou verstrekken in de geometrie en gravitatie rondom een puntmassa in relativiteitstheorie. Het was dan ook een verrassing dat amper een jaar na het publiceren van zijn theorie (in 1916) een exacte oplossing verscheen. Deze werd gevonden door Karl Schwarzschild. De oplossing zegt hoe de metriek er uit ziet rondom een puntmassa. Dat geeft meteen ook inzicht in de beweging van andere kleine massa's in de aanwezigheid van een grote centrale massa. Maar de oplossing die Schwarzschild vond, heeft een bijzondere eigenschap. Er is een punt waar de gravitationele aantrekking zo groot is, dat geen voorwerpen kunnen ontsnappen. Dit noemt men horizon. Hoewel men zou kunnen stellen dat dit de oplossing onrealistisch maakt, heeft dit een diepere betekenis. Vandaag de dag weten we dat, indien men de massa van een voorwerp samenperst in een punt, het object een zwart gat vormt. Omdat voor de oplossingen van Schwarzschild de massa in één punt wordt verondersteld, heeft de oplossing automatisch de structuur van een zwart gat. De straal (afstand tot centrale massa) op dewelke de horizon zich bevindt, noemt men nu de Schwarzschildstraal.

De oplossing[bewerken]

De metriek van Schwarzschild ziet er uit als volgt:


c^2 d\tau^2 =  \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}} - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)

Hierbij is  \tau de eigentijd van een plaatselijk testdeeltje,  t de tijdscoördinaat voor een waarnemer op afstand,  r de radiële parameter en  \theta en  \phi de azimutale en polaire hoek. De parameter r_s is gegeven door

r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}

met G de gravitatieconstante en  c de lichtsnelheid. (Merk op dat bij het ontbreken van een centrale massa dit reduceert tot het geval van tijdachtige scheiding in een Minkowski-ruimte).

d\tau =  0 betekent voor een object met rustmassa (dat dus niet met de lichtsnelheid beweegt) dat het voor de waarnemer op afstand lijkt stil te staan, doordat de plaatselijke tijd lijkt stil te staan. Bij een radiale beweging is dit voor 
r =  r_s / (1-v/c)

Als het voorwerp naar de centrale massa toe beweegt kan het dus niet op kleinere afstand van het middelpunt van de centrale massa waargenomen worden dan op deze afstand. De afstand is het kleinst bij een kleine snelheid, dan benadert deze r_s. Benadering op deze afstand zonder in de centrale massa binnen te dringen is alleen aan de orde als de straal van de centrale massa kleiner is, dit is bij een zwart gat.

De metriek wordt singulier: de g_{tt}-component wordt nul en de g_{rr}-component wordt oneindig. Deze plaats (eigenlijk een sfeer) komt overeen met de horizon van het zwart gat. Een voorwerp dat hier voorbijgaat, kan niet meer terugkeren naar de buitenwereld. De straal van het zwart gat is dus r_s, en noemt men de Schwarzschildstraal.

ds =  0 betekent bij een cirkelbaan om de centrale massa 
r =  r_s / (1-v^2/c^2)
.

Invullen van de baansnelheid geeft 
r =  1,5 r_s
.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189-196.
  • Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.