Secans en cosecans

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
In een eenheidscirkel geeft de in het lichtblauw aangeduide lengte de secans aan van hoek θ.

De secans (Latijn voor de snijdende) en cosecans zijn twee gerelateerde goniometrische functies. Ze worden aangeduid met respectievelijk sec en csc (ook wel cosec).

Secans[bewerken]

Van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

\sec(\alpha)=\frac{\mbox{schuine zijde}}{\mbox{aanliggende zijde}}

De secans van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek is dus de reciproke van de cosinus van deze hoek.

\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}

Uit de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras kan de volgende relatie met de tangens afgeleid worden:

 \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \;

Machtreeks[bewerken]

De secans kan ontwikkeld worden in de volgende machtreeks voor |x| < π/2:

\sec(x) = 1 + \tfrac 12 x^2 + \tfrac{5}{24} x^4 + \tfrac{61}{720} x^6 + \cdots= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!} x^{2n}

Daarin is En een Eulergetal.

Cosecans[bewerken]

Van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek.

\csc(\alpha)=\sec(90^o-\alpha)\!

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek, geldt:

\csc(\alpha)=\frac{\mbox{schuine zijde}}{\mbox{overstaande zijde}}

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek.

\csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}

Uit de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras kan de volgende relatie met de cotangens afgeleid worden:

 \cot^2(x) + 1 = \csc^2(x) \;

Machtreeks[bewerken]

De cosecans kan ontwikkeld worden in de volgende machtreeks voor 0 < |x| < π/2:

\csc (x)= \frac 1x + \tfrac 16 x + \tfrac{7}{360}x^3 + \tfrac{31}{15120} x^5 + \cdots= \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1} B_{2n} \frac{ 2 (2^{2n-1}-1)}{(2n)!}  x^{2n-1}

Daarin is Bn een Bernoulligetal.

Zie ook[bewerken]