Semi-algebraïsche verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche meetkunde is een semi-algebraïsche verzameling een deelverzameling van een n-dimensionale ruimte gedefinieerd door een eindige combinatie van polynomiale (on)gelijkheden. Ook de vereniging en/of doorsnede van een eindig aantal van dergelijke verzamelingen is een semi-algebraïsche verzameling.

Definitie[bewerken]

Een semi-algebraïsche verzameling A \subset \mathbb{R}^{n} wordt gedefinieerd als:

A = \bigcup_{\ell=1}^m \{ x \in {\mathbb{R}}^n \mid p_{j\ell}(x) ~\epsilon_{j\ell} ~0, \ j=1,\ldots,k \}.
waarbij:
p_{j\ell}, reële polynomen, met j=1,\ldots,k, \ell=1,\ldots,m
\epsilon_{j\ell}, een van de volgende relaties: >, = of <

Eigenschappen[bewerken]

Voorbeeld[bewerken]

We definiëren:

S_{1} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ x^{2} + y^{2} - 4 < 0 \}
S_{2} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ x + y - 1 = 0 \}

Enkele semi-algebraïsche verzamelingen kunnen geconstrueerd worden met de genoemde verzamelingen:

S_{3} = S_{1} \cup S_{2}
S_{4} = S_{1} \cap S_{2}

De verzameling S_{4} kan ook gedefinieerd worden als:

S_{4} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ x^{2} + y^{2} - 4 < 0, \ x + y - 1 = 0 \}
Bronnen, noten en/of referenties
  1. a b (en) Semialgebraic set, PlanetMath