Sferische harmoniek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De sferische harmonieken, sferische harmonischen of bolfuncties vormen een verzameling oplossingen van de Laplacevergelijking wanneer die wordt uitgedrukt in bolcoördinaten en wordt beperkt tot een bol met straal gelijk aan 1. De sferische harmonieken hangen dus nog af van twee hoeken, te vergelijken met de lengte- en breedteligging op het aardoppervlak. Ze vormen een orthogonaal stelsel functies, dat voor het eerst werd ingevoerd door Pierre-Simon Laplace in 1782.

Sferische harmonieken worden gebruikt in tal van theoretische en praktische toepassingen zoals de elektronenconfiguratie van het waterstofatoom, vervormingen van bolvormige lichamen, trillingen in dergelijke lichamen en driedimensionale grafische computertoepassingen. De sferische harmonieken kunnen op diverse manieren gevisualiseerd worden, afhankelijk van de manier waarop ze gebruikt worden.

De Laplacevergelijking in bolcoördinaten[bewerken]

De sferische harmonieken zijn de oplossingen van het hoekgedeelte van de vergelijking van Laplace in poolcoödinaten:

\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\,\left[\sin\theta \, \frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\varphi)\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}Y(\theta,\varphi) = -\ell \,(\ell+1)Y(\theta,\varphi)

waarbij de parameter \ell een niet-negatief geheel getal is. De hoek \theta wordt gemeten, vanaf de noordpool van de bol, en zo over een verticale cirkel tot aan de zuidpool waar de hoek \pi is. Ter hoogte van de evenaar van de bol is deze hoek \pi/2. Deze keuze is gebruikelijk in de natuurkunde, maar wijkt af van wat doorgaans in de wiskunde gekozen wordt. De hoek \varphi wordt gemeten langs de evenaar van de bol, vanaf de x-as in de richting van de y-as tot het punt waar de grote cirkel de evenaar snijdt. Deze hoek varieert dus tussen 0 en 2\pi. Concreet wordt de transformatie van Cartesiaanse coördinaten naar bolcoördinaten dus:

\begin{cases}
x = r \sin\theta\cos\varphi \\
y = r \sin\theta\sin\varphi \\
z = r \cos\theta
\end{cases}

Van de differentiaalvergelijking worden oplossingen gezocht van de vorm

Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta) \cdot \Phi(\varphi)

Door deze vorm van de onbekende functie Y in te vullen kan de differentiaalvergelijking herschreven worden door middel van twee aparte delen, waarvan de som 0 is:

\left[\,\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\,\left[\sin\theta \, \frac{\partial}{\partial \theta}\Theta(\theta)\right] + \ell\,(\ell+1)\,\sin^2\theta \right] + \frac{1}{\Phi(\varphi)}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\Phi(\varphi) =0

Op deze manier zijn de twee veranderlijken volledig van elkaar gescheiden. Doordat de som van beide delen nul is, kan men de differentiaalvergelijkingen opsplitsen in twee afzonderlijke:

\frac{1}{\Phi(\varphi)} \, \frac{d^2\Phi(\varphi)}{d\varphi^2}= -m^2
\left[\,\frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\,\left[\sin\theta \, \frac{\partial}{\partial \theta}\Theta(\theta)\right] + \ell\,(\ell+1)\,\sin^2\theta \right]  = m^2

De eerste vergelijking is een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten van tweede orde, en heeft een algemene oplossing van de vorm:

\Phi(\varphi) = C_1\, e^{-jm\varphi} = C_2\, e^{+jm\varphi}

De oplossingen van de tweede vergelijking staan bekend als de geassocieerde Legendrepolynomen, die in deze toepassing de variabele \cos(\theta) als onbekende hebben:

\Theta(\theta) = P_\ell^m(\cos\theta)

De parameter m neemt gehele waarden aan die kleiner of gelijk zijn aan de absolute waarde van de andere parameter \ell:

m = -\ell, \, -(\ell-1), \ldots , 0,\ldots ,(\ell-1), \, \ell

De waarde van m is geheel opdat de complexe functie in de oplossing voor \Phi(\varphi) een geheel aantal golvingen zou bevatten in het interval [0,2\pi].

De sferische harmonieken[bewerken]

Voorstelling van het reëel deel van de sferische harmonieken voor parameterwaarden (l,m) = (0,0) en met (3,3)

De sferische harmonieken zijn dus de producten van de twee bovenstaande aparte oplossingen:

Y_\ell^m(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}\,\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m(\cos\theta) \, e^{jm\varphi}

De factor met de vierkantswortel is een geschikte normalisatiefactor zodat deze functies een orthonormaal stel vormen voor het inproduct:

\langle Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, | \,Y_k^n(\theta,\varphi)\rangle = \int_{0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi)^*\,Y_k^n(\theta,\varphi)\, \sin\theta \, d\theta \,d\varphi

Of - aangezien de functies orthogonaal zijn - kan de Kroneckerdelta worden ingevoerd:

\langle Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, | \,Y_k^n(\theta,\varphi)\rangle = \delta_{m,n}\, \delta_{\ell,k}

In dit inproduct staat het sterretje bij de tweede functie voor het complex toegevoegde. Deze normalisatie wordt gebruikt in de natuurkunde. In andere disciplines (zoals de kwantumchemie) kunnen licht aangepaste vormen gebruikt worden. In elk geval geldt voor twee sferische harmonieken met zelfde parameter \ell maar tegengestelde parameter m:

Y_\ell^m(\theta,\varphi) = (-1)^m\, Y_\ell^{-m}(\theta,\varphi)^*

Door deze relatie te gebruiken kan men de reële vorm van de sferische harmonieken definiëren:

Y_{\ell m} = \begin{cases}
{1\over\sqrt2}\left(Y_\ell^m+(-1)^m \, Y_\ell^{-m}\right) = \sqrt{2} N_{(\ell,m)} P_\ell^m(\cos \theta) \cos m\varphi 
& \mbox{als } m>0 \\
Y_\ell^0 & \mbox{als } m=0\\
{1\over i\sqrt2}\left(Y_\ell^{-m}-(-1)^{m}\, Y_\ell^{m}\right) = \sqrt{2} N_{(\ell,m)} P_\ell^{-m}(\cos \theta) \sin m\varphi 
&\mbox{als } m<0
\end{cases}

De figuur rechts toont het reëel deel van de sferische harmonieken voor \ell gaande 0 tot en met 3, en telkens m gaande 0 tot en met \ell. De verticale as is de z-as. Zoals gezegd loopt de hoek \theta van 0 tot \pi, startend vanaf de positiez-as. Voor sommige waarden van deze hoek is de sferische harmoniek nul, ongeacht de waarde van de andere hoek \varphi. Het aantal van dergelijke hoeken \theta is gelijk aan \ell-m. Ook zijn er hoeken \varphi waarvoor de sferische harmoniek nul, ongeacht de waarde van de hoek \theta. Dit aantal is gelijk aan 2|m|.

Lijst van sferische harmonieken[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Lijst van sferische harmonieken voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Onderstaande lijst biedt een overzicht van de sferische harmonieken, horend bij nevenkwantumgetal \ell=0 tot en met \ell=3.

Sferische harmonieken met \ell = 0[bewerken]

Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}

Sferische harmonieken met \ell = 1[bewerken]

 Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi) = {1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta = {1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r}
 Y_{1}^{0}(\theta,\varphi) = {1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta = {1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r}
 Y_{1}^{1}(\theta,\varphi) = {-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta = {-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}

Sferische harmonieken met \ell = 2[bewerken]

Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi) = {1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta = {1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x - iy)^2 \over r^{2}}
Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi) = {1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta = {1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x - iy)z \over r^{2}}
Y_{2}^{0}(\theta,\varphi) = {1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1)\, = \, {1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot{(2z^{2}-x^{2}-y^{2})\over r^{2}}
Y_{2}^{1}(\theta,\varphi) = {-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta= {-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x + iy)z \over r^{2}}
Y_{2}^{2}(\theta,\varphi) = {1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta= {1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot{(x + iy)^2 \over r^{2}}

Sferische harmonieken met \ell=3[bewerken]

Y_{3}^{-3}(\theta,\varphi)
= {1\over 8}\sqrt{35\over \pi}\cdot e^{-3i\varphi}\cdot\sin^{3}\theta\quad
= {1\over 8}\sqrt{35\over \pi}\cdot{(x - iy)^{3}\over r^{3}}
Y_{3}^{-2}(\theta,\varphi)
= {1\over 4}\sqrt{105\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta\cdot\cos\theta\quad
= {1\over 4}\sqrt{105\over 2\pi}\cdot{(x- iy)^2 z \over r^{3}}
Y_{3}^{-1}(\theta,\varphi)
={1\over 8}\sqrt{21\over \pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot(5\cos^{2}\theta-1)\quad
={1\over 8}\sqrt{21\over \pi}\cdot{(x - iy)(4z^2- x^2 - y^2)\over r^{3}}
Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)
={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)\quad
={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot{z(2z^2 - 3x^2 - 3y^2)\over r^{3}}
Y_{3}^{1}(\theta,\varphi)
={-1\over 8}\sqrt{21\over \pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot(5\cos^{2}\theta-1)\quad
={-1\over 8}\sqrt{21\over \pi}\cdot{(x + iy) (4z^2 - x^2 - y^2) \over r^{3}}
Y_{3}^{2}(\theta,\varphi)
={1\over 4}\sqrt{105\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta\cdot\cos\theta\quad
={1\over 4}\sqrt{105\over 2\pi}\cdot{(x + iy)^2 z \over r^{3}}
Y_{3}^{3}(\theta,\varphi)
={-1\over 8}\sqrt{35\over \pi}\cdot e^{3i\varphi}\cdot\sin^{3}\theta\quad
={-1\over 8}\sqrt{35\over \pi}\cdot{(x + iy)^3\over r^{3}}

Gebruik als orthonormale basis[bewerken]

De sferische harmonieken (3,0) tot en met (3,3) als superpositie op een bol met straal gelijk aan 1. De grijze delen liggen buiten de eenheidsbol. Op de rode plaatsen ligt de harmoniek binnen de bol.

Omdat de sferische harmonieken een verzameling orthonormale (= onderling loodrecht, en allen met norm gelijk aan 1) basis van functies op de eenheidsbol vormen kunnen ze gebruikt worden om andere, meer complexere functies op de eenheidsbol te schrijven als een lineaire combinatie van sferische harmonieken. Dit principe is in feite hetzelfde als wat gebeurt bij een Fourierreeks, waarbij een periodieke functie wordt ontbonden als een lineaire combinatie van eenvoudige sinussen en cosinussen die een geheel aantal keer in het periode-interval van de functie passen. Voor een functie f die afhangt van de twee gebruikte hoeken schrijft men:

F(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi)

waarbij de coëfficiënten f_\ell^m berekend worden door middel van:

f_\ell^m = \int_0^{2\pi}\,\int_0^\pi \, f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi) \sin\theta \, d\theta \, d\varphi

Nevenstaande figuur toont de afwijkingen van enkele sferische harmonieken tegenover een sfeer met straal een. In elk van de gevallen werd telkens een sferische harmoniek vermenigvuldigd met 0,5, en dan bijgeteld bij een bol met straal 1. Het gaat hier meer bepaald over de harmonieken gekenmerkt door \ell=3 en m=0\ldots 3. De grijze delen puilen uit de sfeer, die transparant in het rood is getekend. In de rode gebieden bevindt harmoniek zich dus binnen de eenheidsbol. De getekende as is de z-as.

De harmonieken vallen samen met de sfeer in een aantal breedtecirkels (constante hoek \theta), en in een aantal verticale meridianen. Dit is het geval indien de sferische harmoniek nul is. De specifieke hoeken waar dit gebeurt werden reeds vermeld en komen hier terug voor:

  • Het aantal breedtecirkels waar de harmoniek gelijk is aan 0, is gelijk aan \ell-m. Dit is makkelijk te zien op de vier figuren.
  • Het aantal halve meridiaancirkels waar de harmoniek gelijk is aan 0, is gelijk aan 2|m|. Zo zal bij een omwenteling rond de meest rechtse harmoniek zes keer van een positief naar een negatief gebied worden overgeschakeld indien men één ronde aflegt op een cirkel op constante hoogte z.

Complexe vervormingen van een lichaam dat in eerste instantie een perfecte bolvorm zou moeten hebben, kunnen dan ontbonden worden als een lineaire combinatie van sferische harmonieken. Dit kan zowel gedaan worden om een vaste vervorming te beschrijven als om periodieke vervormingen zoals grootschalige trillingen van het oppervlak van de zon of van pulserende sterren wiskundig te modelleren en te bestuderen.

De golffunctie van het waterstofatoom[bewerken]

De golffunctie van het waterstofatoom in poolcoördinaten is gegeven als:

 \psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi) = \sqrt {{\left (  \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]^3} } e^{- \rho / 2} \rho^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho) \cdot Y_{\ell}^{m}(\theta, \varphi )

Met:

De golffunctie bestaat dus uit een gedeelte dat enkel van de afstand r afhangt, en een gedeelte dat enkel van de twee hoeken afhangt. Dit tweede deel, de sferische harmoniek, bepaalt de vorm van de golffunctie.

Voorstelling van de golffunctie van het waterstofatoom met kwantumgetallen n=3, \ell=1 en m=1. Links het radiaal deel van de golffunctie, in het midden het hoekgedeelte geprojecteerd in het xy-vlak, en rechts de combinatie van beiden: de waarschijnlijkheidswolk.

Bovenstaand voorbeeld toont de 3p-toestand, gekenmerkt door de kwantumgetallen n=3, \ell=1 en m=1. Het radiaal gedeelte van de golffunctie (links op de figuur) bestaat uit het product van een veralgemeende Laguerre-polynoom, een macht en een dalende exponentieel. Het hoekgedeelte wordt beschreven door een sferische harmoniek (midden). De combinatie geeft een beeld van golffunctie (rechts). Het kwadraat van de amplitude van de golffunctie wordt vertolkt door de grijstint op de figuur rechts. Het radiale gedeelte van de golffunctie geeft aan hoe de waarschijnlijkheid om een elektron op een bepaalde plaats te vinden varieert in functie van de afstand tot de atoomkern. Die waarschijnlijkheid wordt ook nog vermenigvuldigd met een factor bepaald door de sferische harmoniek. Indien de sferische harmoniek in een bepaalde richting nul is, is de waarschijnlijkheid in die richting dat ook.

Zo ontstaat een 3D-wolk, waarvan de figuur rechts een zicht geeft dat loodrecht staat op het vlak waarin de middelste figuur getekend is. De harmoniek heeft op die figuur een straal gelijk aan nul in de horizontale richting. Daarom is waarschijnlijkheidsdichtheid op de rechtse figuur eveneens nul in beide horizontale richtingen. De sferische harmoniek is echter maximaal in de verticale richting van de middelste figuur, en hetzelfde geldt dus ook voor de intensiteit in verticale richting op de rechtse figuur.

Reële sferische harmonieken en hun fysische betekenis[bewerken]

De sferische harmonieken bevatten in alle gevallen imaginaire delen, die in de werkelijkheid geen fysische betekenis bezitten. Daarom kan - door het maken van lineaire combinaties van deze imaginaire oplossingen - een set van reële sferische harmonieken worden gevonden, elk behorend bij een gegeven nevenkwantumgetal.

s-orbitaal[bewerken]

Voor \ell=0 is het maken van een lineaire combinatie niet nodig, omdat deze oplossing geen imaginair deel bevat. De sferische harmoniek is dus gelijk aan zijn reële equivalent:

s = Y_0^0 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\pi}}

Men duidt deze oplossing aan met de letter s (de eerste letter van sharp, verwijzend naar het kenmerk van de bijhorende spectraallijn). Enkel het kwadraat van deze functie bezit een fysische betekenis en geeft een waarschijnlijkheidsverdeling weer voor een elektron in een s-orbitaal:

Hydrogen eigenstate n1 l0 m0.png
Hydrogen atom radial function.svg
Driedimensionale voorstelling van een s-orbitaal.
Radiale functie van de eerste reële sferische harmoniek.
Hierbij stelt a0 de Bohrstraal voor (53 pm of 0,53 Å).

p-orbitalen[bewerken]

Voor \ell=1 worden 3 harmonieken gevonden, die wel imaginaire gedeelten bevatten. Zij kunnen worden omgezet in reële sferische harmonieken door het maken van linaire combinaties (met telkens een normalisatiefactor ervoor):


 \begin{align}
  p_x & = \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_1^{- 1} - Y_1^1 \right) 
        = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \cdot \frac{x}{r} \\
  p_y & = i \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_1^{- 1} + Y_1^1 \right) 
        = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \cdot \frac{y}{r} \\
  p_z & = Y_1^0
        = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \cdot \frac{z}{r}
 \end{align}

Zij verkrijgen een lettercode p (de eerste letter van principal, opnieuw een kenmerk van de bijhorende spectraallijnen). In de scheikunde zijn dit de golffuncties horend bij de 3 p-orbitalen. Deze zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar gepositioneerd in de ruimte en bezitten elk een nodaal vlak (een vlak waarin de waarschijnlijkheid om een elektron aan te treffen gelijk is aan nul).

Px orbital.png
Py orbital.png
Pz orbital.png
px-orbitaal
py-orbitaal
pz-orbitaal

d-orbitalen[bewerken]

Voor de sferische harmonieken met \ell=2 geldt:

d_{z^2}
= Y_2^0
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi}} \cdot \frac{- x^2 - y^2 + 2 z^2}{r^2}
d_{yz}
= i \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_2^{- 1} + Y_2^1 \right)
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{\pi}} \cdot \frac{y z}{r^2}
d_{xz}
= \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_2^{- 1} - Y_2^1 \right)
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{\pi}} \cdot \frac{z x}{r^2}
d_{xy}
= i \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_2^{- 2} - Y_2^2\right)
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{\pi}} \cdot \frac{x y}{r^2}
d_{x^2 - y^2}
= \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_2^{- 2} + Y_2^2 \right)
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{\pi}} \cdot \frac{x^2 - y^2 }{r^2}

In de scheikunde stellen dit de 5 d-orbitalen voor (het kwadraat van deze golffuncties levert opnieuw een waarschijnlijkheidsverdeling op).

Dz2 orbital.png
Dx2-y2 orbital.png
Dxy orbital.png
Dxz orbital.png
Dyz orbital.png
d-orbitaal
dx²-y²-orbitaal
dxy-orbitaal
dxz-orbitaal
dyz-orbitaal

f-orbitalen[bewerken]

Voor de sferische harmonieken met \ell=3 geldt:

f_{z^3}
= Y_3^0
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi}} \cdot \frac{z (2 z^2 - 3 x^2 - 3 y^2)}{r^3}
f_{y \left( 3 x^2 - y^2 \right)}
= i \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_3^{- 3} + Y_3^3 \right)
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{35}{2 \pi}} \cdot \frac{\left( 3 x^2 - y^2 \right) y}{r^3}
f_{x \left( x^2 - 3 y^2 \right)}
= \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_3^{- 3} - Y_3^3 \right)
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{35}{2 \pi}} \cdot \frac{\left( x^2 - 3 y^2 \right) x}{r^3}
f_{z \left( x^2 - y^2 \right)}
= \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_3^{- 2} + Y_3^2 \right)
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{\pi}} \cdot \frac{\left( x^2 - y^2 \right) z}{r^3}
f_{xyz}
= i \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_3^{- 2} - Y_3^2 \right)
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{105}{\pi}} \cdot \frac{xy z}{r^3}
f_{yz^2}
= i \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_3^{- 1} + Y_3^1 \right)
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{21}{2 \pi}} \cdot \frac{y (4 z^2 - x^2 - y^2)}{r^3}
f_{xz^2}
= \sqrt{\frac{1}{2}} \left( Y_3^{- 1} - Y_3^1 \right)
= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{21}{2 \pi}} \cdot \frac{x (4 z^2 - x^2 - y^2)}{r^3}

In de scheikunde stellen dit de 7 f-orbitalen voor (het kwadraat van deze golffuncties levert opnieuw een waarschijnlijkheidsverdeling op).

Fz3 orbital.png
Fxz2 orbital.png
Fyz2 orbital.png
Fxyz orbital.png
Fz(x2-y2) orbital.png
Fx(x2-3y2) orbital.png
Fy(3x2-y2) orbital.png
f-orbitaal
fxz²-orbitaal
fyz²-orbitaal
fxyz-orbitaal
fz(x²-y²)-orbitaal
fx(x²-3y²)-orbitaal
fy(3x²-y²)-orbitaal