Sierpiński-kromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Sierpiński-krommme zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractale krommen in het gesloten vlak. Zij zijn als eerste geconstrueerd door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński. Een Sierpiński-kromme heeft een oneindige lengte en neemt toch een eindige oppervlakte in.

In de limiet n \rightarrow \infty vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig; hun limietkromme, die ook Sierpinski-kromme worden genoemd, is een voorbeeld van een ruimtevullende kromme.

Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is haar Hausdorff-dimensie (in de limiet  n \rightarrow \infty ) gelijk aan  2 . De Euclidische lengte van  S_n is

 l_n = {2 \over 3} (1+\sqrt 2) 2^n - {1 \over 3} (2-\sqrt 2) {1 \over 2^n} ,

dat wil zeggen dat de Euclidische lengte exponentieel toeneemt met  n .

De limiet voor  n \rightarrow \infty van het door S_n ingesloten gebied is gelijk is aan 5/12 \, van het eenheidsvierkant (in de Euclidische metriek).

Sierpiński-kromme van de eerste orde
Sierpiński-kromme van de orden 1 en 2
Sierpiński-kromme van de orden 1 tot 3

Zie ook[bewerken]