Simplex (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een simplex of n-simplex is een n-dimensionaal analogon van de driehoek. Preciezer is het het convexe omhulsel van n+1 onafhankelijke punten, dat wil zeggen dat geen m+2 van de punten in een m-dimensionale deelruimte liggen.

In het bijzonder is:

in alle gevallen met hun inwendige.

Regelmatige simplex[bewerken]

Een simplex heet regelmatig als de afstand tussen twee van de n+1 punten telkens gelijk is. Als deze afstand telkens 1 is, dan is de inhoud van het regelmatig simplex

\frac {\sqrt{n+1}}{n!\sqrt{2^n}}.

De standaard simplex[bewerken]

De standaard 2-simplex in \R^3.

Hoewel elke n-simplex in \R^n ligt, is het meer symmetrisch om een simplex in de n+1-dimensionale ruimte te bekijken. De standaard n-simplex is de deelverzameling van \R^{n+1} gegeven door

\Delta^n = \left\{(t_0,\cdots,t_n)\in\R^{n+1}\mid\Sigma_{i}{t_i} = 1 \mbox{ en } t_i \ge 0 \mbox{ voor alle } i\right\}

De simplex Δn ligt in het affiene hypervlak dat verkregen wordt door de voorwaarde ti ≥ 0 in bovenstaande definitie weg te laten. De standaard n-simplex is een regelmatig simplex.

De hoekpunten van het n-simplex zijn de punten

e0 = (1, 0, 0, ..., 0),
e1 = (0, 1, 0, ..., 0),
\vdots
en = (0, 0, 0, ..., 1).

Er is een kanonieke afbeelding van de standaard n-simplex naar een willekeurige n-simplex met hoekpunten (v0, ..., vn) gegeven door

(t_0,\cdots,t_n) \mapsto \Sigma_i t_i v_i.

De coëfficiënten ti worden de (genormaliseerde) barycentrische coördinaten van een punt in de n-simplex genoemd.

Zie ook[bewerken]