Sinc-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De sinc-functie, genoteerd als sinc (x) is een wiskundige functie die niet alleen wiskundig van belang is, bijvoorbeeld bij het oplossen van bepaalde soorten limieten, maar die ook een belangrijke rol speelt in de elektronica, meer bepaald in de analoge en digitale signaalverwerking. Dit komt doordat de sinc-functie de fouriertransformatie van een rechthoekig signaal is, en omgekeerd.

De benaming sinc is een samentrekking van de volledige Latijnse naam van de functie, de sinus cardinalis.

Definitie[bewerken]

De genormalizeerde sinc (blauw) en de wiskundige sinc-functie (rood) op dezelfde schaal van x = −6π to 6π.

De wiskundige vorm is:

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} \,\!

Deze functie is symmetrisch tegenover de y-as, en de waarde in 0 is gedefinieerd als 1, waardoor de functie overal continu en afleidbaar is. De functie is nul in alle van nul verschillende veelvouden van \pi .

De genormalizeerde sinc-functie is:

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,\!

Deze functie is nul in de gehele getallen verschillend van nul. In de praktijk komt meestal een geschaalde versie voor van de vorm:

\operatorname{sinc}(\pi t/T) = \frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T} \,\!

Deze versie is nul in alle van nul verschillende veelvouden van T.

Gebruik als limiet[bewerken]

De limiet van de sinc-functie voor x gaande naar nul is gelijk aan 1:

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} \, = \, 1

Hezelfde geldt overigens indien de sinus wordt vervangen door een tangens, een arcsinus, een arctangens, een sinus hyperbolicus of een tangens hyperbolicus. Telkens is de limiet in nul gelijk aan 1.

Ook geldt:

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)} \, = \, 1

en ook hier kan de sinus door de hierboven opgesomd functies vervangen worden. Ook in die gevallen is de limiet steeds 1.

Interpolatie met sinc-functies[bewerken]

Indien een aantal equidistente koppels (x_k,f(x_k)) \! gegeven zijn kan een interpolerende functie geschreven worden als:

g(x) \, = \, \sum_{k=1}^{\N} f(x_k) \, \operatorname{sinc} \frac{\pi (x-x_k)}{d}

waar d de afstand tussen twee opeenvolgende equidistente punten is. Telkenmale de variabele x gelijk is aan een netpunt x_k \! zijn alle sinc termen nul, behalve de "eigen" k-de sinc-term die 1 is. De interpolerende functie bereikt op dat moment dus de gewenste waarde f(x_k) \!. Dit soort interpolatie wordt bijvoorbeeld gebruikt bij DA-conversie van geluidsignalen.

Belang in de signaalverwerking[bewerken]

De fouriertransformatie van een geschaalde sinc is gelijk aan:

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(\pi t/T) \, e^{-j \omega t}\,dt = T \!

op het interval

[-\pi /T , \pi /T] \!

en nul daarbuiten.

Omgekeerd is de fouriertransformatie van een rechthoeking signaal in de tijd, een sinc in functie van de frequentie. Dit betekent dat de convolutie van een signaal met een sinc overeenstemt met het product van hun respectievelijke fourier-getransformeerden. Omdat de fouriertransformatie van een sinc echter rechthoekig is, en bijgevolg nul boven een bepaalde grensfrequentie, betekent dit dat convolutie met een sinc tot gevolg heeft dat frequenties hoger dan deze grensfrequentie uit het oorspronkelijk signaal verwijderd worden.

De sinc-functie ligt dan ook aan de basis van het ontwerpen van bandselectieve filters. Dit zijn filters die bepaalde frequentiebanden doorlaten en andere banden onderdrukken. Men onderscheidt in deze context laagdoorlaatfilters, hoogdoorlaatfilters, banddoorlaatfiters en bandstopfilters.