Sinusregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Driehoek.png

De sinusregel is een stelling uit de goniometrie die stelt dat in een driehoek de verhouding tussen de lengte van een zijde en de sinus van de overstaande hoek voor elk van de hoeken gelijk is aan het dubbele van de straal r van de omgeschreven cirkel.

De regel werd voor het eerst beschreven door de middeleeuwse Perzische wiskundige Nasir al-Din al-Toesi.

Voor een driehoek met zijden a, b en c, en respectievelijk de overstaande hoeken α , β en γ geldt:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r

De sinusregel is ook te schrijven als:

\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = a : b : c \!

Gebruik sinusregel:

  • als er 1 zijde en 2 hoeken gegeven zijn (om de andere zijden en hoek te vinden)
  • als er 2 zijden en een overstaande hoek gegeven zijn (om de andere hoeken en zijde te vinden)
  • om de oppervlakte van de driehoek te berekenen ( opp.driehoek = 0,5* het product van de lengte van 2 zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek)

Bewijs van de sinusregel[bewerken]

Driehoek-sinusregel.png

Aan de hand van de afbeelding rechts wordt de sinusregel bewezen:

\sin \alpha = \frac{H_c}{b}
\sin \beta = \frac{H_c}{a}

Vrijmaken H_c geeft:

H_c = b \cdot \sin \alpha
H_c = a \cdot \sin \beta

Gelijkstellen H_c geeft:

a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha.

Omwerken geeft:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Zie ook[bewerken]