Sinusregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Driehoek.png

De sinusregel is een stelling uit de goniometrie die stelt dat in een driehoek de verhouding tussen de lengte van een zijde en de sinus van de overstaande hoek voor elk van de hoeken gelijk is aan het dubbele van de straal r van de omgeschreven cirkel.

De regel werd voor het eerst beschreven door de middeleeuwse Perzische wiskundige Nasir al-Din al-Toesi.

Voor een driehoek met zijden a, b en c, en respectievelijk de overstaande hoeken α , β en γ geldt:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r

De sinusregel is ook te schrijven als:

\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = a : b : c \!

Gebruik sinusregel:

  • als er een zijde en twee hoeken gegeven zijn (om de andere zijden en hoek te vinden)
  • als er twee zijden en een overstaande hoek gegeven zijn (om de andere hoeken en zijde te vinden)
  • om de oppervlakte van de driehoek te berekenen (deze is gelijk aan de helft van het product van de lengte van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek)

Bewijs van de sinusregel[bewerken]

Driehoek-sinusregel.png

Aan de hand van de afbeelding rechts wordt de sinusregel bewezen:

\sin \alpha = \frac{H_c}{b}
\sin \beta = \frac{H_c}{a}

Vrijmaken Hc geeft:

H_c = b \cdot \sin \alpha
H_c = a \cdot \sin \beta

Gelijkstellen Hc geeft:

a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha.

Omwerken geeft:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Zie ook[bewerken]