Smithkaart

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Smithkaart, Smith-chart of Smithdiagram, bedacht door Phillip H. Smith, is in de praktijk van de transmissielijnen een nomogram voor het in elkaar omrekenen van de beide complexe parameters van de lijn, de reflectiecoëfficiënt Γ en de impedantie Z.

Het berekenen van de ingangsimpedantie, Zi, die met de belastingsimpedantie ZL samenhangt door de volgende relatie:

Z_i=Z_0\frac{Z_L+Z_0\tanh(\gamma L)}{Z_0+Z_L \tanh(\gamma L)},

was in het verleden, vóór het gebruik van computers, voor "handmatige" berekening een bewerkelijk karwei. De tegenwoordige computers voeren een dergelijke berekening met bijvoorbeeld programma's als Maple of Excel gemakkelijk uit, zodat het gebruik van Smithkaarten in de praktijk min of meer achterhaald is.

Er bleek echter een relatief eenvoudige grafische methode te zijn, de zogenaamde Smithkaart, die berustte op de relatie tussen de impedantie Z en de reflectiecoëfficiënt Γ op enig punt van de lijn.

 \, Z = Z_0\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}

en omgekeerd

 \, \Gamma = \frac{Z-Z_0}{Z+Z_0}.

De methode bepaalt bij de belastingimpedantie via geschikte cirkelvormige coördinaten de bijbehorende reflectiecoëfficiënt aan het einde van de lijn. De reflectiecoëfficiënt aan het begin van de lijn kan dan eenvoudig bepaald worden door de relatie:

 \, \Gamma_0 = \Gamma_L e^{-2\gamma L},

die voor verliesvrije lijnen slechts een door de lengte bepaalde fasedraaiing betekent. Vervolgens wordt de bij deze reflectiecoëfficiënt behorende ingangsimpedantie weer van de cirkelvormige coördinaten afgelezen.

Achtergrond Smithkaart[bewerken]

In het onderstaande gebruiken we steeds de relatieve impedantie

 z = \frac{Z}{Z_0}.

Het nomogram berust op de volgende constateringen:

Noem

 \, \Gamma = x+jy

en

 \, z = r+ji

dan is:

 \, z = r+ji =\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} = \frac{1+x+jy}{1-x-jy}=\frac{1-x^2-y^2+2jy}{(1-x)^2+y^2} .

Dus

 \, r = \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}

en

 \, i = \frac{2y}{(1-x)^2+y^2}

Dat wil zeggen

\, r(1-x)^2+ry^2 = 1-x^2-y^2

of anders geschreven:

 (\frac{1}{1+r})^2 = (x - \frac{r}{1+r} )^2 + y^2.

Voor vaste r zijn dit cirkels om het middelpunt (\frac{r}{1+r},0) met straal \frac{1}{1+r}.

Evenzo:

\, i(1-x)^2+iy^2 = 2y ,

of anders geschreven:

\, (\frac 1i )^2 = (x-1)^2 + (y - \frac 1i)^2

Voor vaste i zijn dit cirkels om het middelpunt (1,1/i) met straal 1/i.

Figuur 1. Principe van een Smith-kaart

In de bovenstaande figuur 1 zien we het principe van een Smith-kaart. De figuur toont volle cirkels voor de waarden 0, 0.33, 1 en 3 van het reële deel r van de impedantie z. De delen van cirkels daar "dwars" op zijn de lijnen voor de waarden 2, 1, 0.5, 0 (=as), -0.5, -1 en -2 van het imaginaire deel i van de impedantie z.

In de figuur is een (relatieve) impedantie z = 0.33 + 0.5j aangegeven, dus met Re(z) = 0.33 en Im(z) = 0.5. De bijbehorende reflectiecoëfficiënt Γ kan worden afgelezen in de gewone rechthoekige coördinaten, maar wordt meestal in poolcoördinaten |Γ| en arg(Γ) gegeven. De absolute waarde |Γ| kan gevonden worden als fractie van de straal van de buitenste cirkel. Er geldt: |Γ| = 0.6 en arg(Γ) = 123°.

In onderstaande figuur zien we een in de praktijk gebruikte Smith-kaart.

Smith-kaart voor praktisch gebruik

Toepassing[bewerken]

Voor toepassing van de Smith-kaart gaan we uit van een verliesvrije lijn, of een lijn die bij de signaalfrequentie een zuiver ohmse karakteristieke impedantie heeft.

Het gebruik van een Smith-kaart gaat in beginsel in de volgende drie stappen.

Figuur 2. Gebruik van een Smith-kaart

1.
De gegeven impedantie z wordt uitgezet op het cirkelvormige coördinatenstelsel voor het reële deel r en het imaginaire deel i van z. In het centrale rechthoekige coördinatenstelsel stelt het uitgezette punt de reflectiecoëfficiënt Γ voor. Dit stelsel is voor het gemak gegeven in poolcoördinaten en bepaalt dus |Γ| en arg(Γ). In figuur 2 is de (relatieve) impedantie z = 0.33 + 0.5j uitgezet.

2.
Bij een verliesvrije lijn wordt, door omcirkelen om de oorsprong over de juiste hoek, de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of in een ander punt) van de lijn gevonden. In geval van demping door de lijn, kan de grootte van de reflectiecoëfficiënt aangepast worden. In figuur 2 komt de lengte van de lijn (of het relevante gedeelte) overeen met een hoek Φ = 38.5°. Door omcirkelen over het dubbele van deze hoek wordt de reflectiecoëfficiënt aan het begin (of op een ander plaats) van de lijn gevonden.

3.
Op het cirkelvormige coördinatenstelsel kan de bijbehorende impedantie z' worden afgelezen. In het geval van figuur 2 is dat: z' = 1.25 + 1.6j.

Reciproque waarde[bewerken]

De Smith-kaart kan ook gebruikt worden om van een (relatieve) impedantie z de reciproque waarde 1/z te bepalen. Er geldt immers:

 \, z = \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma},

dus

 \, \frac 1z = \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma},

en de waarde daarvan kan afgelezen worden bij -Γ.

Figuur 3. Bepaling van complexe inverse

In figuur 3 lezen we van de impedantie z = 0.33 + 0.5j de inverse waarde 1/z = 1.92 - 1.38j af.