Sommatie

Sommatie is het optellen van een groep getallen, het resultaat hiervan is de som of het totaal. Een oneindige som wordt vaak gezien als een reeks.

Notatie

In de wiskunde is er een compacte en effectieve manier om een sommatie aan te geven. Dit wordt in de wiskunde gedaan met de hoofdletter Σ uit het Griekse alfabet ook wel bekend als Sigma.
Ziet er uit als: $\sum$.

Syntaxis

Een sommatie ziet er zo uit:

$\sum^n_{i=m} x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \dots + x_{n-2} + x_{n-1} + x_n$

De i duidt in dit geval de index aan. De m is de waarde die aan i wordt gegeven, ook wel bekend als de ondergrens van de sommatie, en de n als de bovengrens van de sommatie. De $i=m$ geeft aan dat de index start als m, elke stap wordt er bij de index 1 opgeteld, totdat de index gelijk is aan de n. Voor de index kan men bijvoorbeeld ook de letter k gebruiken, zoals bij:

$\sum^4_{k=2} k^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 29$

Of de letter n:

$\sum^{12}_{n=6} 2^n = 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10} + 2^{11} + 2^{12} = 8128$

In programmeertalen

De sommatie kan ook worden gebruikt in programmeertalen, een paar voorbeelden:
In Python:

sum(x[m:n+1])

En dit in Fortran (of Matlab):

sum(x(m:n))

In C/C++/C#/Java kan men deze code gebruiken, mits n, m en x zijn int-types. Dat x een array is. En dat $m <= n$:

int i;
int som = 0;
for (i = m; i <= n; i++)
    som += x[i];

Een oneindige sommatie

Een oneindige sommatie zoals het wiskundige getal pi eindigt nooit. Toch kan men zeggen dat pi (ongeveer) 3,14159 is. Een formule van Leonhard Euler luidt:

$\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots$

Deze (oneindige formule) is om te zetten in een formule die gebruik maakt van een sommatie. Zoals hieronder te zien is:

$\frac{\pi^2}{6} = \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2}$

De andere formule van hem is:

$\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots =\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{\left(2n+1\right)^2}$

Dan zijn er nog de twee formules van Gottfried Wilhelm von Leibniz, de eerste is:

$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots =\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

En dan de laatste:

$\frac{\pi^2}{12} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \dots = \sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2} - \frac{1}{\left(2n+2\right)^2}\right) = \sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$

Mediabestanden

Zie de categorie Summation van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.