Sommatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Sommatie is het optellen van een groep getallen, het resultaat hiervan is de som of het totaal. Een oneindige som wordt vaak gezien als een reeks.

Notatie[bewerken]

In de wiskunde is er een compacte en effectieve manier om een sommatie aan te geven. Dit wordt in de wiskunde gedaan met de hoofdletter Σ uit het Griekse alfabet ook wel bekend als Sigma.
Ziet er uit als: \sum.

Syntaxis[bewerken]

Een sommatie ziet er zo uit:

\sum^n_{i=m} x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \dots + x_{n-2} + x_{n-1} + x_n

De i duidt in dit geval de index aan. De m is de waarde die aan i wordt gegeven, ook wel bekend als de ondergrens van de sommatie, en de n als de bovengrens van de sommatie. De i=m geeft aan dat de index start als m, elke stap wordt er bij de index 1 opgeteld, totdat de index gelijk is aan de n. Voor de index kan men bijvoorbeeld ook de letter k gebruiken, zoals bij:

\sum^4_{k=2} k^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 29

Of de letter n:

\sum^{12}_{n=6} 2^n = 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10} + 2^{11} + 2^{12} = 8128

Niet iedere term hoeft de index te bevatten. Bijvoorbeeld geldt dat:

\sum^{8}_{n=4} 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

Einstein-Sommatieconventie[bewerken]

Volgens deze conventie, veel gebruikt in theoretische fysica en met name voor algemene relativiteitstheorie worden sommatietekens weggelaten en wordt er automatisch over een index gesommeerd als deze in een uitdrukking zowel covariant als contravariant voorkomt.

In programmeertalen[bewerken]

De sommatie kan ook worden gebruikt in programmeertalen, een paar voorbeelden:
In Python:

sum(x[m:n+1])

En dit in Fortran (of Matlab):

sum(x(m:n))

In C/C++/C#/Java kan men deze code gebruiken, mits n, m en x zijn int-types. Dat x een array is. En dat m <= n:

int i;
int som = 0;
for (i = m; i <= n; i++)
    som += x[i];

Eindige sommen[bewerken]

Voor diverse eindige sommen is de uitkomst samen te vatten in een eenvoudige formule. Bijvoorbeeld

\sum_{ i \mathop =1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}

En

\sum^n_{i=1} i^2 = \frac n6 (2n+1)(n+1)

En

\sum^n_{i=1} i^3 = \frac {n^2(n+1)^2}4

Een vaak gebruikte formule is

\sum^n_{k=1} a^k = \frac {a^{(n+1)}-a}{a-1} voor a\neq 1

Oneindige sommaties[bewerken]

Een oneindige sommatie wordt ook wel een reeks genoemd.
Uit de bovenstaande formule voor \sum^n_{k=1} a^kvolgt als we geen n maar oneindig veel termen sommeren de formule voor de meetkundige reeks

\sum^\infty_{k=1} a^k = \frac {a}{1-a} voor |a| < 1

Een oneindige sommatie zoals het wiskundige getal pi eindigt nooit. Toch kan men zeggen dat pi (ongeveer) 3,14159 is. Een formule van Leonhard Euler luidt:

\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots

Deze (oneindige formule) is om te zetten in een formule die gebruik maakt van een sommatie. Zoals hieronder te zien is:

\frac{\pi^2}{6} = \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2}

De andere formule van hem is:

\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots
=\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{\left(2n+1\right)^2}

Dan zijn er nog de twee formules van Gottfried Wilhelm von Leibniz, de eerste is:

\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots
=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1}

En dan de laatste:

\frac{\pi^2}{12} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \dots
= \sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2} - \frac{1}{\left(2n+2\right)^2}\right)
= \sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}