Sommatieregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In getaltheorie is de som van de eerste n kubusgetallen gelijk aan het kwadraat van het n-de driehoeksgetal. Uitgedrukt in een formule:

\sum_{i=1}^{n} i^3 = \Bigl(\sum_{i=1}^{n} i\Bigr)^2.

Deze identiteit staat bekend als de sommatieregel of het theorema van Nicomachus.

Geschiedenis[bewerken]

Vele wiskundigen in de geschiedenis hebben deze identiteit bestudeerd en op velerlei wijze bewezen. Pengelley (2002) vindt referenties in meerdere oude wiskundige teksten, het werk van Nicomachus in het huidige Jordanië in de eerste eeuw na Christus, van Aryabhata in India in de vijfde eeuw en van Al-Karaji rond het jaar 1000 in Perzië. Bressoud (2004) noemt nog meer vroeg werk aan deze formules, in het bijzonder door Alchabitius (10e eeuw, Arabië), Gersonides (rond 1300, Frankrijk) en Nilakantha Somayaji (rond 1500, India). Hij heeft Nilakantha's visuele bewijs gereproduceerd.

Numerieke waardes, geometrische interpretaties[bewerken]

De volgorde van gekwadrateerde driehoeksgetallen is

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ...

Deze getallen kunnen worden gezien als figuratieve getallen, een vier-dimensionale, hyperpyramidale generalisatie van de driehoeksgetallen en kwadratische pyramidegetallen.

Stein heeft in 1971 opgemerkt dat deze getallen gelijk zijn aan het aantal rechtopstaande rechthoeken die passen in een n×n vierkant rooster. Bijvoorbeeld, de punten in een rooster van 4×4 kunnen 36 verschillende rechthoeken vormen. Op eenzelfde manier is het aantal vierkanten in het rooster gelijk aan het kwadratische pyramidegetal.

Bewijzen[bewerken]

Wheatstone (1854) geeft een bijzonder eenvoudige afleiding door elk kubusgetal in de som uit te schrijven tot een aantal opvolgende getallen:

1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...
  = (1) + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...
  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 ...

De som van elke rij opeenvolgende oneven getallen vanaf 1 is een kwadraat, en wel precies het kwadraat van het aantal oneven getallen waarover gesommeerd wordt. Dat laatste is te zien als een som van de vorm 1+2+3+4+...+n.

In meer recente wiskundige literatuur gebruikt Stein in 1971 de rechthoek-tel interpretatie van deze getallen om een geometrisch bewijs te schrijven (zie Benjamin et al.). Hij laat zien dat het ook makkelijk te bewijzen is door inductie - wat geen nieuwe inzichten oplevert - en stelt dat Toeplitz (1963) een interessant oud-Arabische bewijs heeft. Kanim (2004) biedt een volledig visueel bewijs, Benjamin en Orrison (2002) geven er nog twee, en Nelsen (1993) geeft zeven geometrische bewijzen.

Generalisaties[bewerken]

Een gelijkaardig resultaat is geldig voor alle sommen van machten: alle sommen van oneven machten gelijk zijn aan een polynoom van driehoeksgetallen. Deze worden Faulhaberpolynomen genoemd. De sommatieregel is het simpelste en meest elegante voorbeeld van zo'n polynoom.

Meer resultaten zijn te vinden in het werk van Stroeker (1995), Garrett en Hummel (2004), en Warnaar (2004).

Referenties[bewerken]

Externe links[bewerken]