Spearmans rangcorrelatiecoëfficiënt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Spearmans rangcorrelatiecoëfficiënt, of kortweg Spearmans ρ (rho), is in de statistiek de correlatiecoëfficiënt gebaseerd op de rangnummers van de data in plaats van op de data zelf. Het is daarmee een verdelingsvrije maat voor correlatie, ook geschikt voor data die slechts op ordinale schaal gemeten zijn. De coëfficiënt is genoemd naar z'n bedenker, de psychometricus Charles Spearman.

Spearmans rangcorrelatiecoëfficiënt is een eenvoudig geval van de product-momentcorrelatiecoëfficiënt van Karl Pearson, maar dan berekend voor de rangnummers (r_i) en (s_i) van de n dataparen.

\rho_S = \frac{\sum_i(r_i-\bar{r})(s_i-\bar{s})}{\sqrt{\sum_i(r_i-\bar{r})^2}\sqrt{\sum_i(s_i-\bar{s})^2}} = \frac {\sum_i(r_is_i-\bar{r}\bar{s})}{\sum_i(r_i-\bar{r})^2} =\frac {-\tfrac 12\sum_i(r_i-s_i)^2+\sum_i r_i^2-n\bar{r}^2}{\sum_i r_i^2- n\bar{r}^2} =1-\frac {\sum_iD_i^2}{2(\sum_i r_i^2- n\bar{r}^2)} .

Omdat

\bar{r}=\tfrac 12(n+1)

en

\sum_i r_i^2=\tfrac 16 n(n+1)(2n+1),

volgt, in het geval dat er geen knopen zijn, de eenvoudiger formule:

\rho_S = 1- {\frac {6 \sum D^2}{n(n^2 - 1)}}

waarin:

D_i=r_i-s_i.

De te hanteren formule in het geval dat er knopen zijn[bewerken]

Als er onder de waarden van de variabelen gelijke voorkomen, zogenaamde knopen, kan de bovenstaande formule niet gebruikt worden. Elke waarde in een knoop krijgt een aangepast rangnummer als het gemiddelde rangnummer in de knoop. Spearmans rho is in dat geval de product-momentcorrelatiecoëfficiënt berekend voor de aangepaste rangnummers.

\rho_S = \frac{1-\frac{6}{n(n^2-1)}\sum_i D_i^2-\tfrac12(T_X+T_Y)}{\sqrt{\left(1-T_X\right)\left(1-T_Y\right)}}.

Daarin is, voor de X-waarden, en ook voor de Y-waarden:

T = \tfrac1{n(n^2-1)}\sum_k t_k(t_k^2- 1),

met t_k het aantal waarnemingen in de betrokken steekproef met hetzelfde rangnummer.

Voorbeeld[bewerken]

waarden
X
waarden
Y
rangnr.
X
rangnr.
Y
verschil
D
D2  t_X  \scriptstyle t_X^\,(t_X^2-1)  t_Y  \scriptstyle t_Y^\,(t_Y^2-1)
2,0 1,5 1 -1½ 2,25 1 0 2 6
3,0 1,5 0 0 2 6
3,0 4,0 5 -2½ 6,25 1 0
5,0 3,0 4 4 0 0 1 0 1 0
5,5 1,0 5 1 4 16 1 0 1 0
8,0 5,0 6 0,25 1 0 2 6
10,0 5,0 1 1 2 6
10,0 9,5 8 0,25 1 0
totalen 26   12   12

Het aantal waarnemingsparen is n = 8, dus

\!n(n^2-1)=504

en

\!T_X=T_Y=12/504=0{,}0238.

Voor Spearmans rho vinden we:

\rho_S = \frac{1-6\times 26/504-0{,}0238}{0{,}976}=0{,}68