Speciale lineaire groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een tak van de hogere algebra, vormen speciale lineaire groepen een vaak geciteerde klasse van voorbeelden. De elementen van een speciale lineaire groep zijn vierkante matrices.

Definitie[bewerken]

Zij K een commutatief lichaam. De speciale lineaire groep in n dimensies over K, genoteerd SL(n,K), bestaat uit de vierkante n×n-matrices met elementen in K waarvan de determinant 1 is. De groepsbewerking is de matrixvermenigvuldiging.

Verantwoording[bewerken]

Als een vierkante matrix determinant 1 heeft, dan is hij omkeerbaar. Hieruit volgt dat SL(n,K) een deelverzameling is van de algemene lineaire groep GL(n,K), de omkeerbare vierkante matrices met elementen in K. Bovendien is de determinant van een product van vierkante matrices gelijk aan het product van hun determinanten, zodat de deelverzameling SL(n,K) stabiel blijft onder matrixvermenigvuldiging en onder het nemen van inversen. Ze vormt dus een ondergroep van GL(n,K).

Voorbeeld[bewerken]

De reële speciale lineaire groep in twee dimensies SL(2,\mathbb{R}) bestaat uit de 2\times2-matrices met reële elementen en determinant 1.

SL(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}|ad-bc=1\right\}

Vierkante n\times n-matrices kunnen worden opgevat als lineaire transformaties van de n-dimensionale vectorruimte Kn. Bij reële vierkante matrices is de determinant gelijk aan het georiënteerde volume van de getransformeerde eenheidskubus.

De reële speciale lineaire groep is dus de groep der volumebehoudende lineaire transformaties van de n-dimensionale ruimte.

Coördinaten[bewerken]

Voor K=\mathbb{R} en K=\mathbb{C} kunnen de elementen van SL(n,K) worden uitgedrukt in reële coördinaten. Technisch zeggen we dat deze groepen Lie-groepen zijn. (met reële dimensie n2-1 resp. 2n2-2).

Eindige groepen[bewerken]

Als K een eindig lichaam is met k elementen, dan is SL(n,K) een eindige groep. Zo heeft bijvoorbeeld SL(2,K) steeds k(k+1)(k-1) elementen.

Projectieve speciale lineaire groep[bewerken]

De scalaire veelvouden van de eenheidsmatrix met determinant 1 vormen een normaaldeler van SL(n,K). Deze is niet-triviaal als het getal 1 een niet-triviale n-demachtswortel heeft in het lichaam K. Bijvoorbeeld: in de reële getallen heeft 1 twee verschillende vierkantswortels, namelijk 1 zelf en -1. De groep SL(2,\mathbb{R}) heeft dus een normaaldeler die bestaat uit de twee matrices

\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}

De bijhorende factorgroep heet projectieve speciale lineaire groep in n dimensies over K. Men noteert hem gewoonlijk als PSL(n,K).

Trivia[bewerken]

De Franse wiskundige Serge Lang publiceerde een boek met de titel SL(2,\mathbb{R}) als verwijzing naar zijn eigen initialen.