Speciale unitaire groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad $n$ , genoteerd als $\mathrm {SU} (n)$ , de groep van unitaire $n\times n$ -matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep $\mathrm {U} (n)$ van unitaire $n\times n$ -matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ .

De groepen $\mathrm {SU} (n)$ vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de $\mathrm {SU} (2)$ in de elektro-zwakke interactie en $\mathrm {SU} (3)$ in de kwantumchromodynamica.

Het simpelste geval, $\mathrm {SU} (1)$ , is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep $\mathrm {SU} (2)$ is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van $\mathrm {SU} (2)$ met de rotatiegroep $\mathrm {SO} (3)$ , waarvan de kern gelijk is aan $\{+I,-I\}$ .

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

De speciale unitaire groep $\mathrm {SU} (n)$ is een reële matrix lie-groep van dimensie $n^{2}-1$ . Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep (dit betekent dat zijn lie-algebra enkelvoudig is; zie onder). Het centrum van $\mathrm {SU} (n)$ is isomorf met de cyclische groep $\mathbb {Z} _{n}$ . De uitwendige automorfismegroep, voor $n\geq 3$ , is $\mathbb {Z} _{2}$ , terwijl de uitwendige automorfismegroep voor $\mathrm {SU} (2)$ de triviale groep is.

De $\mathrm {SU} (n)$ wordt als algebra gegenereerd door $n^{2}$ operatoren die voor $i,j,k,l=1,2,\ldots ,n$ voldoen aan de commutatorrelatie

\left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}

In aanvulling hierop moet de operator

{\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}

voldoen aan

\left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0

,

wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van $\mathrm {SU} (n)$ gelijk is aan $n^{2}-1$ .^[1]

Een algemene $\mathrm {SU} (2)$ -matrix heeft de vorm

U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}

,

waarin $*$ staat voor de complex geconjugeerde en $a$ en $b$ complexe getallen zijn met

|a|^{2}+|b|^{2}=1

In de definiërende representatie zijn de generatoren $T_{a}$ proportioneel aan de Pauli-matrices $\sigma _{a}$ via:

T_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}

waarin:

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor $\mathrm {SU} (2)$ worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool

f^{123}=1

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle $d$ -waarden verdwijnen.

De generatoren $T$ van $\mathrm {SU} (3)$ worden in de definiërende representatie gegeven door:

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}

waarin de Gell-Mann-matrices $\lambda$ voor $\mathrm {SU} (3)$ het analogon zijn van de pauli-matrix voor $\mathrm {SU} (2)$ :

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$