Stelling van Abel

In de complexe analyse is de stelling van Abel een stelling voor machtreeksen, waarin de limiet van de machtreeks wordt gerelateerd aan de som van de coëfficiënten. De stelling is genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.

Stelling

Zijn a = {a_i: i ≥ 0} een complexe rij met a_i ≥ 0 voor elke i, en zij

$G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i .$

de machtreeks met coëffiënten a convergent. Dan

$\lim_{z\uparrow 1} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i ,$

waarbij de limiet langs een willekeurig binnenpad naar 1 loopt dat niet raakt aan de eenheidscirkel, dit wil zeggen dat er een getal M bestaat zodat

$|1-z|\leq M(1-|z|) \,$

Toepassingen

Het nut van de stelling bestaat erin om limieten van machtreeksen te berekenen, bijvoorbeeld voor een Galton–Watson proces.

Voorbeeld

Beschouw de machtreeks

$a_k = (-1)^k/(k + 1)$,

Hieruit volgt de genererende functie

$G_a(z) =$ln$(1 + z) / z$

voor

$0 < z < 1$,

door term per term te integreren over [-z, 0]

Hieruit volgt door de stelling van Abel dat

$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k/(k+1)\! = \ln(2)$

Omgekeerde stelling

De omgekeerde stelling is niet zonder meer waar, maar de Stelling van Tauber is een soort omgekeerde stelling onder bepaalde voorwaarden. Dit is later verfijnd door Godfrey Harold Hardy en John Littlewood. Dergelijke omgekeerde stellingen zijn nuttig om stellingen over priemgetallen te bewijzen.

Zie ook

• Stelling van Abel-Ruffini

Referenties