Stelling van Abel-Ruffini

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Abel-Ruffini zegt dat er geen algemene methode is, om de nulpunten van een polynoom met gehele of met rationale coëfficiënten en van de graad vijf of hoger al dan niet met behulp van wortelvormen te bepalen. De vergelijking met links het polynoom en rechts 0 zijn niet op te lossen door alleen maar de basisoperaties te gebruiken. De nulpunten van deze polynomen zijn niet uit te drukken in de coëfficiënten van die polynomen.

De stelling zegt niet deze vergelijkingen numeriek onoplosbaar zijn, volgens de hoofdstelling van de algebra liggen de nulpunten van de bedoelde polynomen allemaal in het complexe vlak. Hoewel deze oplossingen niet precies kunnen worden gegeven, kunnen zij tot elke gewenste graad van nauwkeurigheid worden benaderd, door numerieke methodes zoals de Newton-Raphsonmethode of de methode van Laguerre. Dat is hetzelfde als voor de nulpunten van de polynomen van de tweede, derde en vierde graad.

Zo kunnen de oplossingen van iedere tweedegraadsvergelijking in termen van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, en wortels worden uitgedrukt. De vertrouwde kwadratische vergelijking

\displaystyle ax^2 + bx + c = 0

heeft oplossingen:

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

De analoge Formule van Cardano voor derde- en de formule van Lodovico Ferrari voor vierdegraadsvergelijkingen waren al bekend in de 16e eeuw.

De stelling van Abel-Ruffini zegt dat er sommige vijfdegraadsvergelijkingen zijn waarvan de oplossing zo niet kan worden uitgedrukt.

De vergelijking \displaystyle x^5 - x + 1 = 0 is een voorbeeld.

De stelling is vernoemd naar Paolo Ruffini en Niels Henrik Abel. Ruffini publiceerde een bijna volledig bewijs in 1799, maar de publicatie van Abel uit 1824 won meer bekendheid. in 1845 publiceerde Wantzel een vereenvoudigd bewijs. Sinds 1885 wordt deze stelling vaak bewezen met behulp van galoistheorie.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties