Stelling van Abel-Ruffini

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Abel-Ruffini zegt dat er geen algemene methode is, om de nulpunten van een polynoom f van de graad vijf of hoger, met coëfficiënten die gehele of rationale getallen zijn, al dan niet met behulp van wortelvormen te bepalen. De vergelijking f(x)=0 is niet op te lossen door alleen maar de basisoperaties en wortelvormen te gebruiken. De nulpunten van de polynoom f zijn niet uit te drukken in de coëfficiënten van f.

De stelling is naar Paolo Ruffini en Niels Henrik Abel genoemd. Ruffini publiceerde een bijna volledig bewijs in 1799, maar de publicatie van Abel uit 1824 won meer bekendheid. in 1845 publiceerde Wantzel een vereenvoudigd bewijs. Sinds 1885 wordt deze stelling vaak met behulp van galoistheorie bewezen.

Volgens de stelling van Abel-Ruffini zijn er dus vijfdegraadsvergelijkingen, waarvan de oplossing niet op deze manier kan worden uitgedrukt. De vergelijking x^5 - x + 1 = 0 is daarvan een voorbeeld.

Voor vierkants-, derde- en vierdegraadsvergelijkingen bestaat een dergelijke methode wel. Zo heeft de vertrouwde vierkantsvergelijking

ax^2 + bx + c = 0

de twee oplossingen:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

De analoge formule van Cardano voor derde- en de formule van Lodovico Ferrari voor vierdegraadsvergelijkingen waren al in de 16e eeuw bekend.

De stelling zegt niet dat er voor deze vergelijkingen geen numerieke onoplossing is. Volgens de hoofdstelling van de algebra liggen de nulpunten van de bedoelde polynomen allemaal in het complexe vlak. Hoewel deze oplossingen niet precies kunnen worden gegeven, kunnen zij tot elke gewenste graad van nauwkeurigheid door numerieke methoden, zoals de methode van Newton-Raphson of de methode van Laguerre worden benaderd.