Stelling van Arzelà-Ascoli

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, geeft de stelling van Arzelà-Ascoli noodzakelijke en voldoende voorwaarden om te beslissen of een rij van reëel-waardige continue functies van een gesloten en begrensd interval een uniform convergente deelrij heeft. De belangrijkste voorwaarde is de equicontinuïteit van de rij van functies. De stelling is een fundamenteel resultaat in de wiskunde. In het bijzonder vormt het de basis voor het bewijs van de existentiestelling van Peano in de theorie van de gewone differentiaalvergelijkingen en de stelling van Montel in de complexe analyse. De stelling speelt ook een beslissende rol in het bewijs van de stelling van Peter-Weyl.

Het begrip equicontinuïteit werd ongeveer rond dezelfde tijd geïntroduceerd door Giulio Ascoli (1883-1884) en Cesare Arzelà (1882-1883). Een zwakke vorm van de stelling werd bewezen door Ascoli (1883-1884), die de voldoende voorwaarde voor compactheid vaststelde, en door Arzelà (1895), die de noodzakelijke voorwaarden voor de stelling vaststelde en die als eerste een duidelijke presentatie van het resultaat gaf. Een verdere veralgemening van de stelling werd in 1906 bewezen door Maurice Fréchet voor een ruimte, waarin de notie van een limiet zinvol is, zoals een metrische ruimte of een Hausdorff-ruimte. Moderne formuleringen van de stelling staan toe dat het domein en het bereik compacte metrische ruimten zijn. De meest algemene formulering van de stelling geeft noodzakelijke en voldoende voorwaarden dat een familie van functies van een compacte Hausdorff-ruimte naar een uniforme ruimte compact is in de topologie van uniforme convergentie (Bourbaki (1998) Loc §2.5).

Definitie[bewerken]

Een rij {ƒn}nN van continue functies op een interval I = [a,b] is op uniforme wijze begrensd als er een getal M bestaat zodanig dat

|f_n(x)| \le M

voor elke functie ƒn behoren tot de rij, en alle x ∈ [a,b]. De rij is equicontinu indien, voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodanig dat

|f_n(x)-f_n(y)| < \varepsilon\, wanneer |x-y|<\delta\,

voor elke ƒn, die tot de rij behoort. Beknopt geformuleerd is een rij dan en slechts dan equicontinu als alle elementen dezelfde modulus van continuïteit hebben. In de eenvoudigste termen kan de stelling als volgt worden geformuleerd:

Beschouw een rij van reëelwaardige continue functies (ƒn)nN, die is gedefinieerd op een gesloten en begrensd interval [ab] van de reële lijn. Als deze rij uniform begrensd en equicontinu is, dan bestaat er een deelrij (ƒnk) die uniform convergeert.

Referenties[bewerken]