Stelling van Bell

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Bells theorema of de stelling van Bell[1] is een naar John Bell genoemde stelling, die vereenvoudigd zegt dat kwantummechanica niet kan verklaard worden door verborgen lokale variabelen. Nauwkeuriger: iedere 'klassieke' theorie die gebruikmaakt van lokale, realistische (dat wil zeggen niet-stochastische) variabelen geeft meetbare resultaten die onverenigbaar zijn met de uitkomsten van de kwantummechanica.

De stelling maakt in principe experimentele toetsing van de EPR-paradox mogelijk, maar er is tot op heden nog geen experiment geweest dat aan alle voorwaarden voor de stelling voldoet, al komt het experiment van Alain Aspect uit 1982 dicht in de buurt.[2]

Inleiding[bewerken]

Volgens de kwantummechanica kunnen twee experimenten die tot in alle details dezelfde opzet hebben toch verschillende uitkomsten geven. Een voorbeeld is het sturen van een verticaal gepolariseerd lichtdeeltje door een polarisatiefilter dat een hoek van 45 graden met de verticaal maakt. Als we dit experiment uitvoeren zal in 50% van de gevallen blijken dat het lichtdeeltje wordt doorgelaten, terwijl in de overige 50% van de gevallen het lichtdeeltje wordt geabsorbeerd. Volgens de kwantummechanica is het niet mogelijk te voorspellen wat het lot van een individueel lichtdeeltje zal zijn, omdat alle lichtdeeltjes voor ze het filter bereiken volstrekt identiek zijn. Ze hebben geen onderscheidende eigenschap die bepaalt of ze al dan niet worden doorgelaten. Vooral in de beginjaren van de kwantummechanica zagen veel natuurkundigen dit als een teken dat de theorie niet volledig is. Zij stelden dat de uitkomsten van experimenten wel van tevoren vast moesten liggen, en bepaald werden door tot dan toe verborgen gebleven variabelen, de zogenaamde hidden variables. In de jaren 30 bedachten en publiceerden Einstein, Podolsky en Rosen een gedachte-experiment[3] waarmee zij de absurditeit van het kwantummechanische wereldbeeld aan het licht wilden brengen.

In de jaren 60 leidde de Britse wis- en natuurkundige Bell[1] voor een later te bespreken experimentele opzet een ongelijkheid af, waaraan voldaan moest worden als de uitkomst van het experiment daadwerkelijk van tevoren vastgelegd was door verborgen variabelen. In 1982 is een dergelijk experiment door de natuurkundige Alain Aspect[2] op dusdanig zorgvuldige wijze uitgevoerd dat de hypothese van de verborgen variabelen nu als verworpen mag worden beschouwd (strikt genomen schijnt er nog een redding mogelijk te zijn, maar deze vereist tamelijk vergezochte aannames).

Gepolariseerd licht[bewerken]

Licht is een transversale golf, hetgeen betekent dat de trillingsrichting loodrecht op de voortbewegingsrichting staat. Als we de z-richting definiëren als de richting waarin het licht zich beweegt, dan ligt de trillingsrichting in het xy-vlak. Bij het licht afkomstig van de zon of van een gloeilamp, zijn er trillingen in alle richtingen. Als we dit licht door een polarisatiefilter sturen, dan zal één trillingsrichting worden geselecteerd. Het uitkomende licht is dan gepolariseerd. De intensiteit van het doorgelaten licht is de helft van dat van het invallende licht, de andere helft wordt door het filter geabsorbeerd. Als een tweede filter achter het eerste filter wordt geplaatst, dan zal dit alle licht dat het eerste filter heeft weten te passeren doorlaten, mits het tweede filter dezelfde oriëntatie heeft als het eerste filter. Als het tweede filter echter loodrecht op het eerste filter staat, dan zal het alle licht dat het eerste filter heeft weten te passeren, blokkeren. Algemeen geldt dat als het tweede filter een hoek φ met het eerste filter maakt, dat dan de intensiteit van het licht bij doorgang door het tweede filter met een factor \cos^2φ wordt gereduceerd.

Licht bestaat uit een stroom van lichtdeeltjes, de zogenaamde fotonen. Ook individuele fotonen hebben een polarisatierichting. Als twee polarisatiefilters achter elkaar worden geplaatst onder een onderlinge hoek van φ, dan blijkt de kans dat het foton door het tweede filter wordt doorgelaten op voorwaarde dat het door het eerste filter is doorgelaten gelijk te zijn aan \cos^2φ.

Verstrengelde fotonen[bewerken]

Verstrengelde fotonen zijn twee fotonen die zich in precies dezelfde kwantumtoestand bevinden. Het is mogelijk onder experimentele condities dergelijke paren te produceren en in tegenovergestelde richting (zeg naar links en naar rechts) weg te schieten. Als we zowel aan de linkerkant als aan de rechterkant een polarisatiefilter opstellen, zodat beide fotonen op hun pad een filter tegenkomen, dan zullen de fotonen, indien de filters parallel zijn georiënteerd, ofwel beide worden tegengehouden, ofwel beide worden doorgelaten. Als de filters echter loodrecht op elkaar staan, zal steeds één van de fotonen worden doorgelaten, terwijl het andere wordt tegengehouden. In het algemene geval dat de filters een onderlinge hoek van φ met elkaar maken is er een kans van cos2φ dat beide fotonen hetzelfde lot ondergaan, en een kans van sin2φ dat ze een tegenovergesteld lot ondergaan.

Einstein-Podolsky-Rosenparadox[bewerken]

In theorie is het mogelijk twee verstrengelde deeltjes ruimtelijk gezien willekeurig ver van elkaar te scheiden zonder de verstrengeling ongedaan te maken. Stel dat de verstrengelde fotonen zich op lichtjaren afstand van elkaar bevinden (ten opzichte van het laboratorium waarin ze zijn geproduceerd). Veronderstel nu dat een geleerde de polarisatierichting van het linker foton meet door het door een polarisatiefilter te sturen. Op hetzelfde moment (wederom ten opzichte van het laboratorium) meet zijn collega de polarisatierichting van het rechter foton door het door een filter met dezelfde oriëntatie te sturen. Volgens de kwantummechanica zullen beide metingen hetzelfde resultaat laten zien. Aangezien de fotonen zich zover uit elkaar bevinden dat ze geen tijd hebben om aan elkaar door te geven aan welke proeve zij zijn blootgesteld, is het lastig om zich voor te stellen hoe de fotonen tot hetzelfde gedrag komen (dat wil zeggen, doorgelaten of tegengehouden worden) als het hier inderdaad, zoals de kwantummechanica beweert, gaat om een puur kansproces en hun toekomstige gedrag niet reeds bij hun gezamenlijk ontstaan was ingeprent. Dit gedachte-experiment is door Einstein, Podolsky en Rosen[3] bedacht om aan te tonen dat de kwantummechanische visie niet correct kan zijn. Zij stelden hier de hypothese van de verborgen variabelen tegenover.

Volgens deze hypothese hebben de twee verstrengelde fotonen reeds op het moment van hun gezamenlijk ontstaan samen "afgesproken" hoe ze zullen reageren als ze een filter tegenkomen dat onder een hoek φ met de verticaal staat, voor iedere waarde van φ. Op het eerste gezicht lijkt dit een bevredigende verklaring te bieden voor het feit dat de fotonen schijnen te weten hoe hun partner op het filter reageert, zelfs als vanwege de afstand geen contact meer mogelijk is. Deze verklaring komt echter met een prijs, want er volgt een restrictie uit voor de mogelijke uitkomsten van experimenten.

Experimentele opzet[bewerken]

Met de letters A, B en C duiden we in het vervolg standen van een polarisatiefilter aan. A correspondeert met de verticale stand, B met een stand die een hoek van 22,5 graad met de verticaal maakt, en C met een stand die een hoek van 45 graden met de verticaal maakt. We voeren een experiment uit waarbij we achtereenvolgens N verstrengelde paren fotonen produceren. We gaan in onze redeneringen uit van de waarheid van de hypothese van de verborgen variabelen. Deze hypothese zegt dat voor ieder paar reeds bij zijn ontstaan vastligt of het al dan niet tegengehouden wordt door een filter in de stand A, B of C. Op basis hiervan kunnen de paren worden ingedeeld in acht categorieën. In de eerste categorie zitten de paren die door geen van de drie filters worden tegengehouden. In de tweede categorie zitten alle paren die alleen door filter C worden tegengehouden; enzovoort, tot en met de achtste categorie waar de paren in zitten die door alle drie filters worden tegengehouden.

Het is belangrijk om te beseffen dat het voor een gegeven paar niet mogelijk is experimenteel vast te stellen tot welke categorie het behoort. Dit komt doordat de toestand van het foton verandert als het foton door een filter heen gaat. Wat we willen weten is of het foton door filter X heen gaat als het dit filter als eerste op zijn pad tegenkomt. Als we het foton echter eerst door filter Y sturen en dan pas door filter X dan zal het resultaat anders kunnen zijn. Uit experimenten blijkt ook dat dit het geval is; zo is de kans dat een foton dat een polarisatierichting van -45 graden heeft door filter C komt gelijk aan nul, maar als ditzelfde foton eerst door filter A gaat (kans 50% dat het erdoor komt) dan is daarna de kans dat het door C gaat 50% geworden. Er zijn dus fotonen die niet door filter C heen gaan als ze deze als eerste op hun pad tegenkomen, maar wel als ze eerst door filter A zijn gegaan. Hieruit volgt dat de verborgen variabelen van waarde (kunnen) veranderen als het foton door een filter heen gaat. Bij gewone (niet-verstrengelde) fotonen kunnen we daardoor experimenteel slechts de waarde van één van de drie verborgen variabelen a, b of c bepalen (waarbij variabele x beschrijft of het foton door filter X heen gaat). Voor fotonen die een tweelingbroer hebben in de vorm van een foton waarmee ze verstrengeld zijn kunnen we de waarden van twee van de drie genoemde verborgen variabelen bepalen.

Op het eerste gezicht lijkt het alsof de bovenstaande argumentatie nodeloos ingewikkeld is. Uit het feit dat een foton geabsorbeerd wordt (en dus verdwijnt) als het niet door een filter heen gaat volgt ook al dat het niet mogelijk is voor alle fotonen experimenteel te bepalen welke waarden de verborgen variabelen a, b en c hebben. Dit eenvoudige argument gaat echter niet op als we de fotonen vervangen door elektronen en polarisatie door spin, want elektronen blijven gewoon bestaan als hun spin wordt gemeten, ongeacht de uitkomst van de meting. Het ingewikkelder argument uit de vorige paragraaf is echter wel van toepassing op elektronen, zodat de conclusie dat van de drie beschouwde verborgen variabelen er experimenteel slechts twee bepaald kunnen worden ook in het algemene geval overeind blijft.

Ongelijkheid van Bell[bewerken]

Dit neemt echter niet weg dat het volgens de hypothese van de verborgen variabelen wel degelijk vastligt wat een gegeven foton zou doen als het een filter met stand A, B of C zou tegenkomen, zodat het wel degelijk zinvol is te praten over een categorisering in de acht bovengenoemde groepen, ook al kunnen we deze groepen niet bepalen. We duiden nu met |ABC| het aantal paren aan dat door alle drie de filters heen zou gaan, met |AB~C| het aantal paren dat wel door filters A en B heen zou gaan maar niet door C, enzovoort. Aangezien we voor ieder paar slechts de reactie op twee filters experimenteel kunnen bepalen is het handig ook grootheden als |A~B| te definiëren. Dit is het aantal paren dat wel door A en niet door B heen gaat ongeacht wat het zou doen als het filter C zou tegenkomen. Er geldt

|A\overline{B}| = |A\overline{B}C| + |A\overline{B} \overline{C}|.

De ongelijkheid van Bell is geformuleerd in termen van deze grootheden. Zij luidt

|A\overline{B}| + |B\overline{C}| \geq |A\overline{C}|.

De beste (eenvoudigste, elegantste) manier om dit te bewijzen is door middel van een Venn-diagram. Teken drie elkaar overlappende cirkels, elk corresponderend met een grens tussen X en ~X (voor X = A, B en C) . Het platte vlak is aldus opgedeeld in acht deelgebieden, elk corresponderend met één van de bovenvermelde categorieën. Men zou in principe de fotonenparen in deze figuur kunnen intekenen. Arceer nu het gebied dat correspondeert met de linkerzijde van de vergelijking van Bell, en dubbelarceer het gebied dat correspondeert met de rechterzijde. De ongelijkheid volgt nu uit het feit dat het dubbelgearceerde gebied een deelverzameling is van het enkelgearceerde gebied.

We gaan nu proberen de componenten van de ongelijkheid van Bell experimenteel vast te stellen. Daartoe verdelen we de groep verstrengelde fotonen in drie subgroepen. Voor de eerste subgroep zetten we het linker filter in stand A en het rechter in stand B (of vice versa, dat maakt niet uit), voor de tweede subgroep zetten we het linker in stand A en het rechter in stand C, voor de derde subgroep zetten we het linker in stand B en het rechter in stand C. Vervolgens tellen we voor iedere subgroep hoeveel fotonen door beide filters gaan, hoeveel wel door het linker gaan maar niet door het rechter, enzovoort.

Op het eerste gezicht lijkt het alsof het aantal |AB| wordt verkregen door voor de eerste subgroep te tellen hoeveel fotonen door beide filters gaan. Dit is echter niet het geval, want van fotonen uit de tweede subgroep die door filter A heen gaan zal er wellicht een aantal zijn dat ook door filter B heen zou zijn gegaan (al zullen we dat nooit te weten komen), en deze moeten worden meegenomen bij de bepaling van |AB|. Onze experimentele opstelling stelt ons dus niet in staat om de componenten van de ongelijkheid van Bell te bepalen. Het blijkt überhaupt onmogelijk te zijn om dit te doen, en daarom gaan we de ongelijkheid van Bell herformuleren in een wat zwakkere (probabilistische) vorm door beide zijden van de vergelijking te delen door het totale aantal verstrengelde paren. De ongelijkheid wordt dan

\operatorname{P}(A\overline{B}) + \operatorname{P}(B\overline{C}) \geq \operatorname{P}(A\overline{C})

De stilzwijgende aanname is dat bij de productie van de verstrengelde fotonen de verborgen variabelen worden gekozen uit een kansverdeling die voor ieder paar dezelfde is. Er zijn kleine (toevallige) variaties in de omstandigheden waaronder de fotonen worden geproduceerd, en deze zullen ertoe leiden dat ieder paar andere waarden meekrijgt voor zijn verborgen variabelen. De productie van de paren kan het best worden vergeleken met het opgooien van een munt, waarvan de uitkomst (kop of munt) dan analoog is aan de waarden die de verborgen variabelen meekrijgen bij de productie van de fotonen. Kleine onwillekeurige variaties in de wijze waarop de munt wordt opgegooid hebben een grote impact op de uitkomst, maar als de munt vaak wordt opgegooid kan het resultaat beschreven worden in termen van een kansverdeling.

De kans P(A~B) wordt nu geschat door voor de eerste subgroep (waarvoor het linker filter op stand A stond en het rechter filter op stand B) te tellen voor hoeveel paren het linker foton door wordt gelaten terwijl het rechter wordt tegengehouden, en dit aantal te delen door het aantal fotonen in deze subgroep. De andere twee kansen worden op analoge wijze geschat.

Voorspelling door de kwantummechanica[bewerken]

Laten we gaan kijken wat de kwantummechanica zegt over de grootte van deze kansen. Beschouw twee assen x en y die beide loodrecht op de voortbewegingsrichting van het foton staan, en die loodrecht op elkaar staan. De toestand van een foton dat gepolariseerd is langs de x-richting duiden we aan met |x>, de toestand van een foton dat gepolariseerd is langs de y-richting duiden we aan met |y>. Iedere polarisatietoestand kan dan worden geschreven als een lineaire combinatie van beide (ook superpositie genoemd), namelijk

\left|s\right\rang = \left|x\right\rang \cos \varphi + \left|y\right\rang \sin \varphi

Dit correspondeert met een polarisatierichting die een hoek φ met de x-as maakt. Als nu een foton dat zich in toestand |s> bevindt wordt afgestuurd op een filter dat in de x-richting georiënteerd is, dan zal het worden doorgelaten met kans cos2φ, en het zal worden geabsorbeerd met kans sin2φ. Als de polarisatierichting van het foton een hoek van 45 graden met het filter maakt dan is er dus 50% kans dat het foton wordt doorgelaten. Als het foton door het filter is doorgelaten, dan is daarna zijn polarisatierichting altijd parallel aan het filter, ongeacht zijn oorspronkelijke polarisatietoestand. Het filter verandert dus de polarisatie van het foton.

Stel dat we twee filters achter elkaar zetten, en één foton achtereenvolgens door beide filters heen proberen te sturen. Als de twee filters een hoek φ met elkaar maken dan volgt uit het bovenstaande dat als het foton door het eerste filter heenkomt, dat het dan een kans van cos2φ heeft om ook door het tweede filter heen te komen. Beschouw nu twee verstrengelde fotonen die elk op een filter worden afgestuurd. De filters maken een hoek φ met elkaar. Volgens de kwantummechanica zal ook in dit geval de (conditionele) kans dat het ene foton door zijn filter wordt doorgelaten onder de voorwaarde dat het andere wordt doorgelaten gelijk zijn aan cos2φ. Als de opzet waarmee de verstrengelde paren worden geproduceerd geen ingebakken voorkeursrichting heeft dan zal de onconditionele kans dat een foton wordt doorgelaten gelijk zijn aan 50%. We zullen aannemen dat hiervoor gezorgd is (deze aanname kan eenvoudig experimenteel getest worden).

We kunnen nu de kansen die voorkomen in de vergelijking van Bell gaan berekenen (onder de aanname dat de kwantummechanica correct is). We beginnen met P(A~B). Dit is de onconditionele kans dat een foton door filter A wordt doorgelaten (50%), vermenigvuldigd met de conditionele kans dat het door filter B niet wordt doorgelaten als het door filter A wel is doorgelaten. De hoek tussen beide filters is 22.5 graden, dus de conditionele kans is sin2 (45/2) = 1/2 (1 - 1/√(2))= 14.6%. Hieruit volgt

\operatorname{P}(A\overline{B}) = 7.3%

Aangezien filters B en C dezelfde hoek met elkaar maken als filters A en B geldt eveneens

\operatorname{P}(B\overline{C}) = 7.3%

We berekenen nu het rechterlid van de ongelijkheid, te weten P(A~C). De filters A en C maken een hoek van 45 graden met elkaar, zodat de conditionele kans dat het ene foton door filter C wordt doorgelaten op voorwaarde dat het andere door filter A wordt doorgelaten gelijk is aan sin2(45) = 50%. We zien dus dat volgens de kwantummechanica.

 \operatorname{P}(A \bar{C}) = 25%.

Deze drie kansen voldoen niet aan de ongelijkheid van Bell. Uit experimenten is gebleken dat de kwantummechanica de kansen correct voorspelt. Hieruit volgt dat de aanname die leidde tot de ongelijkheid van Bell, namelijk het bestaan van verborgen variabelen die van tevoren vastleggen hoe de fotonen zullen reageren als ze een filter tegenkomen, onjuist is. Dit betekent echter dat het ons door Einstein, Podolsky en Rosen voorgelegde raadsel hoe de fotonen van elkaar weten of ze al dan niet door het filter zijn doorgelaten onopgelost blijft. We kunnen niet anders dan de woorden van Richard Feynman te onderschrijven: "I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics".

Overigens blijft Gerard 't Hooft proberen om de Bell ongelijkheden binnen een kader van een deterministisch systeem met verborgen parameters te verdedigen.[4]

Referenties[bewerken]

  1. a b Bell, John. On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics 1 3, 195-200, Nov. 1964
  2. a b Aspect, A, P. Grangier, G. Roger (1982). Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities. PRL 49 (2): 91-94 . DOI:10.1103/PhysRevLett.49.91.
  3. a b Einstein, A, B. Podolsky, N. Rosen (1935-05-15). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?. Physical Review 47 (10): 777–780 . DOI:10.1103/PhysRev.47.777.
  4. Gerard 't Hoofd (2009). Entangled quantum states in a local deterministic theory. Quantum Physics .