Stelling van De Moivre

De stelling van De Moivre zegt dat voor elk complex getal (en daarmee ook voor elk reëel getal) x en voor elk geheel getal n geldt dat:

$\!\,(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).$

waarin $i$ staat voor de imaginaire eenheid.

Deze stelling is van belang, omdat zij een verbinding legt tussen de complexe getallen en de goniometrie.

De stelling is geformuleerd door de Franse wiskundige Abraham de Moivre. Er is een verband tussen de stelling van De Moivre en een door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontdekte formule van Euler:

$\!\,e^{i\pi}+1=0.$

Dit resultaat is een speciaal geval van de ook door Euler ontdekte formule

$\!\,e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).$

[bewerken] Bewijs van de stelling

De stelling van De Moivre volgt uit de formule van Euler door de substitutie: $θ = n x$ :

$\!\,e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

Dat de stelling zeer 'krachtig' is, blijkt wanneer voor n bij wijze van toepassing een concreet getal wordt ingevuld.

Hierbij moet men tevens gebruiken dat twee complexe getallen $z 1$ en $z 2$ aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als geldt:

$Re(z_1) = Re(z_2) \,$ , én

$Im(z_1) = Im(z_2) \,$

Dus $z 1 = z 2$ als zowel de reële delen als de imaginaire delen van deze complexe getallen aan elkaar gelijk zijn.

Als we nu bijvoorbeeld de waarde n = 4 invullen in de stelling van De Moivre, dan volgt:

$\cos^{4}x + 4i\cos^{3}x\sin x + 6i^{2}\cos^{2}x\sin^{2}x + 4i^{3}\cos x\sin^{3}x + i^{4}\sin^{4}x = \cos(4x)+ i\sin(4x) \,$

ofwel

$\cos^{4}x - 6\cos^{2}x\sin^{2}x + \sin^{4}x + i \{ 4\cos^{3}x\sin x - 4\cos x\sin^{3}x \} = \cos(4x)+ i\sin(4x) \,$

De conclusie is dat voor alle x de volgende goniometrische identiteiten gelden:

$\cos(4x) = \cos^{4}x - 6\cos^{2}x\sin^{2}x + \sin^{4}x \,$

$\sin(4x) = 4\cos^{3}x\sin x - 4\cos x\sin^{3}x \,$