Stelling van Fubini

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Stelling van Fubini is een naar Guido Fubini genoemde wiskundige stelling over dubbelintegralen.

De stelling zegt, dat

als de dubbelintegraal van de absolute waarde van een functie f(x,y) over een bepaald domein convergeert, dus eindig is, dan is de dubbelintegraal van die functie f(x,y) gelijk aan de integraal naar x over dat domein en dan de integraal naar y over dat domein van de functie f(x,y) of ook gelijk aan de integraal naar y over dat domein en dan de integraal naar x over dat domein.

In formules luidt deze stelling: Als

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,

waarbij wordt geïntegreerd over de productmaat van de ruimte A\times B (waarbij A en B maten zijn), dan geldt dat

\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),

waarbij in de eerste twee integralen sprake is van herhaald integreren over de twee maten (de een na de ander) en de derde wederom een integratie is over het product van de maten. Tevens geldt dan:

\int_A f(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} f(x)g(y)\,d(x,y)

De stelling schept dus de mogelijkheid om een dubbelintegraal te berekenen als twee opeenvolgende gewone integralen op voorwaarde dat aan de convergentievoorwaarde voldaan is. De stelling laat in dat geval ook toe om de volgorde van de twee gewone integralen te kiezen zoals het het eenvoudigst uitkomt.

Verschillende vormen[bewerken]

In feite zijn er twee vormen van deze stelling in omloop.

  • De eerste heeft als voorwaarde (zoals hierboven) dat de integraal van de functie convergeert.
  • De tweede heeft als voorwaarde dat f een positieve functie is (dus het beeld van f is \R^+).

Beide vormen zeggen dat indien aan de voorwaarden voldaan is, de integralen in volgorde van keuze uitgerekend mogen worden.

Beide vormen samen leveren een krachtig hulpmiddel om meervoudige integralen uit te rekenen: met de tweede vorm kunnen we nagaan of de integraal van |f| eindig is, en indien hieraan voldaan is kunnen we de eerste vorm gebruiken om de integraal van f uit te rekenen.