Stelling van Herbrand-Ribet

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Herbrand-Ribet een resultaat voor het klassegetal van bepaalde getallenlichamen. Het is een versterking van de Ernst Kummers stelling in de zin dat het priemgetal p het klassegetal van het cyclotomisch veld van de p-e eenheidswortel dan en slechts dan deelt, als p de teller van het n-e Bernoulli-getal Bn deelt voor enige n, 0 < n < p - 1. De stelling van Herbrand-Ribet geeft in het bijzonder aan wat het betekent wanneer p deelt op zulk een Bn.

Voor een oneven priemgetal p, Q(ζ) met ζp = 1, bestaat de Galoisgroep Δ van het cyclotomisch veld van de pe eenheidswortels uit de p - 1 groepselementen σa, waar \sigma_a(\zeta) = \zeta^a.

Als een gevolg van kleine stelling van Fermat hebben wij in de ring van p-adische gehele getallen \Bbb{Z}_p p - 1 eenheidswortels, die elk congruent mod p zijn aan enig getal in het bereik 1 tot en met p - 1; Wij kunnen daarom een Dirichlet-karakter ω definiëren; (het Teichmüller-karakter) met waarden in \Bbb{Z}_p door te eisen dat voor n relatief priem naar p, ω(n) congruent is met n modulo p. Het p-e deel van de klassegroep is een \Bbb{Z}_p-module (aangezien het p-primair is), dus een module over de groepsring \Bbb{Z}_p[\Delta]. We definiëren nu idempotente elementen van de groepsring voor elk n van 1 tot p - 1, zodanig dat

\epsilon_n = \frac{1}{p-1}\sum_{a=1}^{p-1} \omega(a)^n \sigma_a^{-1}.

Het is relatief eenvoudig in te zien dat \sum\epsilon_n = 1 en  \epsilon_i\epsilon_j = \delta_{ij}\epsilon_i , waar \delta_{ij} de Kronecker-delta is. Dit stelt ons in staat de p gedeelten van de ideale klassegroep G van Q(ζ) op te breken door gebruik te maken van idempotenten; als G de ideale klasgroep is en Gn = εn (G), dan hebben wij  G = \oplus G_n .

De stelling van Herbrand-Ribet stelt dat Gn dan en slechts dan niet-triviaal is als p deelt op het Bernoulli-getal Bp-n[1] Het deel dat zegt dat p deelt op Bp-n als Gn niet triviaal is, is te danken aan Jacques Herbrand. Het omgekeerde, dat als p deelt op Bp-n, dat dan Gn niet triviaal is, is te danken aan Kenneth Ribet, en is aanzienlijk moeilijker.

Vanwege de klasseveldtheorie kan dit alleen maar waar zijn, wanneer er een onvertakte uitbreiding van het veld van p-e eenheidswortels bestaat door een cyclisch uitbreiding van de graad p, dat zich op de aangegeven wijze gedraagt onder de actie van Σ; Ribet bewijst dit door daadwerkelijk een dergelijke uitbreiding te construeren met behulp van methoden uit de theorie van de modulaire vormen. Een meer elementair bewijs van Ribets converse van de stelling van Herbrand, een gevolg van de theorie van de Euler-systemen, kan worden gevonden in het boek van Washington[2]

Ribets methoden werden verder ontwikkeld door Barry Mazur en Andrew Wiles, dit met het oog op het bewijs van het hoofdvermoeden van de Iwasawa-theorie, [3] een corollarium waarvan een versterking van de stelling van Herbrand-Ribet betekent: de macht van de p die Bp-n deelt is precies gelijk aan de macht van p, die de orde van Gn deelt.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) Kenneth Ribet, Een modulaire opbouw van unramified p-uitbreidingen van \Qp, Inventiones Mathematicae, vol. 34, iss. 3, 1976, blz. 151-162
  2. (en) Washington, Lawrence C., Introduction to Cyclotomic Fields (Inleiding tot de cyclotomische velden), 2e ed, New York, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387947620
  3. (en) Barry Mazur, Andrew Wiles, Class Fields of Abelian Extension of \Q, Inventiones Mathematicae, vol. 76, iss 2, 1984, blz. 179-330