Stelling van Lagrange (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, legt de stelling van Lagrange een verband tussen de orde van een eindige groep en die van zijn ondergroepen. De stelling zegt dat de orde van een ondergroep een deler is van de orde van de groep. Anders gezegd: het aantal elementen van de groep is een geheel veelvoud van het aantal elementen van een ondergroep. De stelling is vernoemd naar Joseph Lagrange.

Definitie[bewerken]

Zij G een eindige groep en H\subseteq G een ondergroep van G. Volgens de stelling van Lagrange is dan de orde van H een deler van de orde van G, d.w.z.:

\exists_{n\in\mathbb{N}}:|G|=n\cdot|H|.

Bewijs van de stelling van Lagrange[bewerken]

Allereerst definiëren we de relatie \sim op G als volgt

\forall_{a,b\in G}:\left(a\sim b\leftrightarrow\exists_{h\in H}:a=hb\right).

Van \sim zullen we aantonen dat het een equivalentierelatie op G is.

\forall_{g\in G}: g=e_Gg en e_G\in H, dus g\sim g.
\left(\exists_{h\in H}:a=hb\right)\Rarr \left(\exists_{h'=h^{-1}\in H}:b=h'a\right)\Rarr b\sim a.
\exists_{h\in H}:b=ha en ook \exists_{h'\in H}:c=h'b. Omdat H een groep is, geldt h''=h'h\in H, zodat
\exists_{h''\in H}: c=h'b=h'ha=h''a, en dus a\sim c.

Hieruit concluderen we dat \sim een equivalentierelatie op G is. Omdat

\forall_{g,g'\in G}:g\sim g'\leftrightarrow g\in Hg'

zijn de rechternevenklassen \left\{Hg|g\in G\right\} van H in G de equivalentieklassen. Equivalentieklassen vormen een partitie van G, en dus is

\left|\bigcup_{g\in G}Hg\right|=|G|.

Ten slotte merken we op dat

\forall_{g\in G}\forall_{h,h'\in H}:h\neq h'\leftrightarrow hg\neq h'g.

Dit betekent dat

\forall_{g\in G}:\left|Hg\right|=|H|.

Hieruit volgt automatisch dat |H| een deler is van |G|.

Opmerking[bewerken]

Dit bewijs is geleverd met rechternevenklassen, maar we hadden net zo goed gebruik kunnen maken van linkernevenklassen.

Index[bewerken]

Op grond van de stelling van Lagrange kan men zich afvragen hoeveel disjuncte nevenklassen H in G heeft, oftewel wat de waarde van |G|/|H| is. Dit noemt men de index van H in G. Men noteert dit als:

\left[G:H\right]=|G|/|H|.

Zie ook[bewerken]