Stelling van Lindemann-Weierstrass

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat polynomen in machten van e geen nulpunten hebben. Uit deze stelling volgt weer dat e en π en transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass.

Stelling[bewerken]

Zij α1, ..., αn verschillende algebraïsche getallen en β1,...,βn willekeurige algebraïsche getallen, die niet allemaal gelijk zijn aan 0, dan geldt

\beta_{1}e^{\alpha_{1}} + \ldots + \beta_{n}e^{\alpha_{n}} \ne 0.

Met behulp van deze zeer algemene stelling bewees von Lindemann de duidelijk zwakkere resultaten dat e en π transcendent zijn.

Gevolgen[bewerken]

De volgende resultaten volgen direct uit de stelling:

  • Zou e een algebraïsch getal zijn, dan zouden er gehele getallen β0, ..., βn moeten zijn, niet alle gelijk aan nul, zodat
\beta_0e^0 + \beta_1e^1 + \ldots + \beta_ne^n = 0,\;
wat duidelijk in tegenspraak is met de bovengenoemde stelling.
  • Om de transcendentie van π af te leiden, gaan we er even van uit dat π een algebraïsch getal is. Omdat de algebraïsche getallen een lichaam vormen, moet dan ook πi algebraïsch zijn, waarin i de imaginaire eenheid is. Nemen we nu β1 = β2 = 1, α1 = πi en α2 = 0, dan krijgen we een tegenspraak met de bovengenoemde stelling, want volgens de formule van Euler geldt:
e^{\pi i} + 1 = e^{\pi i} + e^0 = 0\,.
  • Duidelijk is nu dat de natuurlijke logaritme van een algebraïsch getal een transcendent getal is. Immers, stel dat α zo'n algebraïsch getal is, dan geldt
e^{\ln(\alpha)} -\alpha e^0 = 0\,
en hierin zijn behalve ln(α) alle coëfficiënten algebraïsch.
  • Is α een van 0 verschillend algebraïsch getal, dan volgt uit de stelling ook dat het getal eα, sin(α), cos(α), tan(α), sinh(α), cosh(α) en tanh(α) transcendent zijn.

Korte tijd na het bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass leverde David Hilbert een duidelijk vereenvoudigd bewijs voor de speciale gevallen van de transcendentie van e en π, waaruit ook weer de algemene stelling af te leiden is.

Literatuur[bewerken]