Stelling van Liouville

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Volgens de stelling van Liouville is elke begrensde complexe analytische functie constant. Dit betekent: Als voor een holomorfe functie f een reëel getal M bestaat zo dat |f(z)| ≤ M voor elke z in C, dan is f een constante functie.

De stelling van Liouville laat zien wat een sterke eigenschap holomorfe differentieerbaarheid voor een complexe functie is. De stelling kan onder andere worden gebruikt voor een kort elegant bewijs van de hoofdstelling van de algebra. De stelling is vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville (1809-1882).

Bewijs[bewerken]

De functie f, kan worden ontwikkeld in een Taylorreeks:

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k

De coëfficiënten ak zijn te vinden met een kringintegraal:

{1 \over k!} f^{(k)}(0)=a_k = {1 \over 2 \pi} \oint_{C_r} {f(z)\over z^{k+1}}\,dz

Hier is Cr de cirkel rond 0 met straal r. Door de absolute waarde te nemen en in de integraal te zetten vinden we:

|a_k| \le {1 \over 2 \pi} \oint_{C_r} {|f(z)|\over |z|^{k+1}}\,dz.

Nu kunnen we gebruiken dat |f(z)| ≤ M voor elke z (f is begrensd), en dat |z|=r op Cr. Dit geeft

 |a_k| \le {1 \over 2\pi} {M \over r^{k+1}} {2\pi r} = {M \over r^k}.

Aangezien dit geldt voor elke cirkel Cr, ongeacht de straal, volgt automatisch dat ak gelijk moet zijn aan 0. De enige uitzondering is k=0 (r0 = 1) zodat a0 de enige term is die overblijft uit de Taylorreeks.

Uitbreiding[bewerken]

Zij f(z) een gehele functie waarvoor geldt dat er een C>0 en R>0 bestaan waarvoor geldt dat |f(z)|<C|z|^p van zodra dat |z|>R dan volgt daaruit op analoge manier als voorgaande stelling dat:

 f^{(n)}(0) \le C {n! \over R^n} R^p

Zij nu  n>p en laat men R\rightarrow\infty dan is   f^{(n)}(0) =0 . Waaruit volgt dat de Taylorexpansie van  f(z) gelijk is aan:

 f(z) = \sum_{k=0}^p a_k z^k

Met andere woorden de functie f(z) is een polynoom van graad p.