Stelling van Menelaos

De Stelling van Menelaos, 1e geval: rechte DEF gaat door driehoek ABC

De stelling van Menelaos of stelling van Menelaüs, toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië is een stelling over driehoeken. Gegeven zijn een driehoek ABC en punten D, E en F die respectievelijk op de zijden BC, AC en AB liggen. De stelling zegt dat D, E en F collineair zijn dan en slechts dan als

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1$

In deze vergelijking moeten we $\frac{AF}{FB}$ en de andere quotiënten positief nemen als AF en FB dezelfde zin hebben, en negatief als ze tegengesteld gericht zijn.

Bewijs

De Stelling van Menelaos, 2e geval: rechte DEF gaat niet door driehoek ABC

Dit is een van de vele bewijzen van de Stelling van Menelaos.

Het teken van de linkerkant van de vergelijking van de stelling is negatief: Rechte DEF snijdt de zijden (opgevat als lijnstukken) een even aantal keren:

1. Ofwel twee keer om de driehoek in en weer uit te gaan,
2. Ofwel geen enkele keer als de rechte niet door de driehoek gaat.

Dus een oneven aantal van de drie quotiënten aan de linkerkant van de vergelijking is negatief en dus is het product negatief.

Het product heeft een absolute waarde van 1: Construeer de lijnstukken van A, B en C loodrecht naar hun voetpunten op rechte DEF. Noem de lengtes van deze lijnstukken a, b, en c. Door gebruik te maken van gelijkvormigheid, kunnen we de absolute waarde van linkerkant van de vergelijking herschrijven tot

$\left| \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \right| = 1$

Vervolgens kunnen we uit het ongerijmde bewijzen dat als de vergelijking van de stelling klopt, dan zijn D, E en F collineair. Laat F' een tweede punt op AB zijn, verschillend van F en noem de lengtes AF=n, AF'= n' en AB=s. Stel dat F' ook voldoet aan de vergelijking van de stelling. Dan hebben de breuken een gelijke waarde:

$\frac{AF}{FB} = \frac{AF'}{F'B}$

$\frac{n}{s - n} = \frac{n'}{s - n'}$

waaruit volgt dat n = n'. Met D en E vast is er dus hoogstens één punt op AB kan voldoen aan de vergelijking van de stelling. Duidelijk is ook dat er dan een punt F is dat AB in lijnstukken van de benodigde verhouding verdeelt, want als D, E en F collineair zijn voldoen ze aan de vergelijking, hebben we laten zien. Dus kan F alleen voldoen aan de vergelijking, als het op de rechte DE ligt.

Dezelfde redenering gaat op voor D en E.

Zie ook

• Stelling van Ceva