Stelling van Rolle
In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, beweert de stelling van Rolle dat er voor een "nette" kromme door de punten A en B, minstens één punt tussen A en B bestaat, waar de raaklijn aan de kromme evenwijdig is aan de rechte door A en B. Anders gezegd is dit de plaats waar de afgeleide nul is.
De stelling werd in 1691 gepubliceerd door de Franse wiskundige Michel Rolle en is naar hem genoemd.
[bewerken] Stelling
Als een functie f voldoet aan de voorwaarden:
- f is continu op het gesloten interval [a, b]
- f is differentieerbaar op het open interval (a,b)
- f(a) = f(b),
dan bestaat er een getal c tussen a en b, waarin de afgeleide van f gelijk is aan 0.
De stelling van Rolle wordt gebruikt in het bewijs van de middelwaardestelling.
[bewerken] Bewijs
Voor de eenvoud noemen we C = f(a) = f(b). Wegens de extremumstelling van Weierstrass bereikt f zowel een minimum m als een maximum M op [a,b]. We moeten dan drie verschillende gevallen onderscheiden:
- m < C: m = f(c) met c ∈ [a,b] en c is verschillend van a en b en bovendien is f'(c) = 0, omdat f minimaal is in c.
- M > C: analoog.
- m = M = C: f is dus constant op [a,b] en dus is voor elke c ∈ [a,b]: f'(c) = 0.
