Stelling van Rolle

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, houdt de stelling van Rolle in dat er voor een "nette" kromme door de punten A en B met dezelfde y-coordinaat minstens één punt tussen A en B bestaat, waar de raaklijn aan de kromme evenwijdig is aan de x-as. De middelwaardestelling is een generalisatie van de stelling van Rolle. Voor het bewijs van de middelwaardestelling wordt een beroep gedaan op de stelling van Rolle.

De stelling werd in 1691 gepubliceerd door de Franse wiskundige Michel Rolle en is naar hem genoemd.

Stelling van Rolle

Als een functie $f$ voldoet aan de voorwaarden:

1. $f$ is continu op het gesloten interval $[a,b]$
2. $f$ is differentieerbaar op het open interval $(a,b)$
3. $f(a)=f(b)$,

dan bestaat er een getal $c$ in het open interval $(a,b)$, waarin de afgeleide van $f$ gelijk is aan 0, dus $f'(c)=0$

Bewijs

Voor de eenvoud noemen we $C=f(a)=f(b)$. Wegens de extremumstelling van Weierstrass bereikt $f$ zowel een minimum $m$ als een maximum $M$ op $[a,b]$. We moeten dan drie verschillende gevallen onderscheiden:

1. $m<C$; dan is $m=f(c)$ met $c\in (a,b)$ en $f'(c)=0$, omdat $f$ minimaal is in $c$.
2. $M>C$: analoog.
3. $m=M=C$: $f$ is dus constant op $[a,b]$ en dus is voor elke $c\in [a,b]:f'(c)=0$.

Zie ook

• Stelling van Gauss-Lucas