Stelling van Thales

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De stelling van Thales is een meetkundige stelling, geformuleerd door de wiskundige/filosoof Thales van Milete.

Volgens de legende werd deze stelling gebruikt om de hoogte van de Egyptische piramiden te berekenen, gebruik makend van de lengte van de schaduw van iedere piramide en de lengte van de schaduw van een stok (met gegeven lengte).

Inhoud 1 Stellingen 2 Toepassingen 2.1 Andere vormen 2.2 Bepalen hoogte piramiden

[bewerken] Stellingen

• Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af.

Anders gezegd:
als drie evenwijdige rechten twee willekeurige rechten r en l snijden, in A,B,C en A',B',C' respectievelijk, dan:

Of anders geschreven:

Dit wijst op de volgende eigenschap: de evenwijdige projectie van een rechte op een andere, bewaart de verhoudingen. Op deze manier kon Thales dus de hoogte van de piramiden bepalen, door te rekenen met de verhouding tussen de hoogte van de stok en de lengte van diens schaduw.

• Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek.

Deze stelling is simpel te bewijzen met behulp van de figuur hiernaast. Aangezien O het middelpunt van de cirkel is, is de afstand OA gelijk aan OB en zijn de hoeken α gelijk. Een analoog argument laat zien dat de hoeken β gelijk zijn. Voor de driehoek ABC geldt dat de som der hoeken gelijk is aan 180°. Hieruit volgt dat α + (α + β) + β = 180° en dus dat α + β = 90°.

[bewerken] Toepassingen

[bewerken] Andere vormen

In ieder van deze gevallen geldt (dankzij de stelling van Thales):

[bewerken] Bepalen hoogte piramiden

De legende wil dat Thales, tijdens een reis naar Egypte, de piramiden bezocht die enkele eeuwen voorheen gebouwd waren. Hij bewonderde die bouwwerken en wilde de hoogte ervan kennen.

Hij probeerde dit met behulp van gelijkvormige driehoeken en zijn stelling. Hij veronderstelde dat de invallende zonnestralen parallel zijn en daarmee leidde hij een verband af tussen de lengte van de schaduw van de piramide en zijn hoogte.

Een overgebleven probleem was nu nog het berekenen van de lengte van de schaduw; daarvoor moest hij vanuit het centrum van de piramide (uiteraard niet toegankelijk) beginnen. Hij merkte op dat de zonnestralen loodrecht op twee zijden van de piramide stonden; het volstond dus de lengte van de schaduw tot de voet van de piramide te meten en daar de helft van de lengte van een zijde bij te tellen.