Stelling van Tijdeman

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zegt de stelling van Tijdeman dat er ten hoogste een eindig aantal van opeenvolgende machten zijn. Op een andere manier gesteld, de verzameling van oplossingen in gehele getallen x, y, n, m van de exponentiële diophantische vergelijking

y^m = x^n + 1 \,

voor exponenten n en m, groter dan een, is eindig.

De stelling werd in 1976 bewezen door de Nederlandse getaltheorist Robert Tijdeman, en gaf een sterke impuls in de richting van het uiteindelijke bewijs van het vermoeden van Catalan door Preda Mihailescu. De Stelling van Mihailescu stelt dat de verzameling van opeenvolgende machtsparen, slechts een element heeft, te weten 9=8+1.

Dat de machten opeenvolgend zijn is essentieel voor Tijdemans bewijs; als we een verschil van een door enig ander verschil k vervangen en vragen naar het aantal oplossingen van

y^m = x^n + k \,

waar n en m groter dan een zijn, hebben we een onopgelost probleem. Het wordt vermoed dat deze verzameling ook eindig is; haar eindigheid zou bijvoorbeeld kunnen volgen uit het ABC-vermoeden.

Bronnen, noten en/of referenties