Stelling van Wolstenholme

in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zegt de stelling van Wolstenholme dat voor ieder priemgetal p ≥ 5 de onderstaande congruentie geldt:

${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$.

Hierin stelt het symbool in het linkerlid zoals gebruikelijk een binomiaalcoëfficiënt voor.

Voor p=7 geeft de stelling bijvoorbeeld dat 1716 één groter is dan een veelvoud van 343.

Geschiedenis

In 1862 publiceerde Joseph Wolstenholme (1829 - 1891), docent aan de Universiteit van Cambridge, de naar hem genoemde stelling in zijn artikel. In hetzelfde artikel gaf hij ook het bewijs voor de volgende congruenties

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$

en

$1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\equiv 0{\pmod {p}},$

waarbij een congruentie als

$a/b\equiv c{\pmod {n}}$ ,

met a,b en c gehele getallen en a en b relatief priem, moet worden opgevat als alternatieve schrijfwijze voor

$b\times c\equiv a{\pmod {n}}$.

Overigens bewees Charles Babbage reeds in 1819 een soortgelijke congruentie als de stelling van Wolstenholme, maar dan met de zwakkere modulus p².

Logische omkering

De logische omkering van de stelling luidt: als de in de inleiding genoemde congruentie waar is voor een geheel getal p, dan is p een priemgetal. Men vermoedt dat de omkering waar is, dus dat het gelden van de congruentie een noodzakelijke en voldoende voorwaarde is voor priem-zijn. Ondanks uitgebreid onderzoek en enkele veelbelovende vorderingen blijft het volledige bewijs van dit vermoeden een moeilijk onopgelost probleem.