Stelsel van lineaire vergelijkingen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een lineair systeem in drie variabelen legt een verzameling vlakken vast. Het snijpunt van de vlakken is de oplossing van het lineaire systeem.

In de wiskunde is een stelsel van lineaire vergelijkingen (ook lineair systeem) een aantal lineaire vergelijkingen in dezelfde onbekenden.

Een voorbeeld van een stelsel van drie lineaire vergelijkingen is

\begin{cases}
\begin{alignat}{7}
3x &\ +\ &             2y &\ -\ &    z &\ =&\  1 \\
2x &\ -\ &             2y &\ +\ & 4z &\ =&\ -2 \\
-x &\ +\ & \tfrac12 y &\ -\ &    z &\ =&\  0 
\end{alignat}
\end{cases}

met de drie onbekenden x, y, z \,. Een oplossing van een lineair systeem is de toewijzing van getallen aan de variabelen, zodanig dat tegelijkertijd aan alle vergelijkingen wordt voldaan. Een oplossing voor het bovenstaande lineaire systeem is:

\begin{cases}
\begin{alignat}{2}
x & = & 1 \\
y & = & -2 \\
z & = & -2
\end{alignat}
\end{cases}

Deze oplossing is voor alle drie vergelijkingen geldig.[1]

In de wiskunde is de theorie van lineaire systemen een tak van de lineaire algebra. Numerieke algoritmen voor het vinden van oplossingen vormen een belangrijk onderdeel van de numerieke lineaire algebra, en zulke methoden spelen een belangrijke rol in verschillende vakgebieden, waaronder bouwkunde, werktuigbouwkunde, elektrotechniek, natuurkunde, scheikunde, informatica en economie. Een systeem van niet-lineaire vergelijkingen kan vaak worden benaderd door een lineair systeem (linearisatie), een handige techniek bij het maken van wiskundige modellen of computersimulaties van een relatief complex systeem.

Algemene vorm[bewerken]

Een algemeen stelsel van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden kan worden geschreven als

\begin{cases}
\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &\ + \ & a_{12} x_2 &\ + \ldots +\ &\ a_{1n} x_n &\ =\ & b_1 \\
a_{21} x_1 &\ + \ & a_{22} x_2 &\ + \ldots +\ &\ a_{2n} x_n &\ =\ & b_2 \\
\vdots\ \ \  &         & \vdots\ \ \ &                  & \vdots \ \ \ &       &\vdots\ \\
a_{m1} x_1 &\ + \ & a_{m2} x_2 &\ +\ldots +\ &\ a_{mn} x_n &\ =\ & b_m
\end{alignat}
\end{cases}

Hierin zijn x_1,x_2,\ldots ,x_n de onbekenden en a_{11}, a_{12},\ldots, a_{mn} de coëfficiënten van het stelsel; b_1,b_2,\ldots,b_m zijn de constante termen.

Vaak zijn de coëfficiënten en onbekenden reële of complexe getallen, maar gehele getallen, rationale getallen, veeltermen en elementen van abstracte algebraïsche structuren komen ook voor.

Vectorvergelijking[bewerken]

Een nuttige zienswijze is om elke onbekende als een gewicht voor een kolomvector in een lineaire combinatie te zien.


 x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
 x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}

Hierdoor kan men gebruikmaken van de taal en theorie van de vectorruimten (of meer algemeen, modulen). De collectie van alle mogelijke lineaire combinaties van de vectoren aan de linkerzijde van de vergelijking heet bijvoorbeeld het lineair opspansel en de vergelijkingen hebben een oplossing precies wanneer de vector aan de rechterzijde van de vergelijking binnen dit lineaire opspansel valt. Als elke vector binnen dit opspansel precies één uitdrukking als een lineaire combinatie van de gegeven vectoren aan de linkerzijde heeft, dan is de oplossing uniek. In ieder geval heeft het opspansel een basis van lineair onafhankelijke vectoren die precies één expressie garanderen; het aantal vectoren in deze basis (de dimensie) kan niet groter zijn dan m of n, maar dit aantal kan ook kleiner zijn. Dit is belangrijk, want als wij m onafhankelijke vectoren hebben, is een oplossing gegarandeerd, ongeacht de rechterkant van de vergelijking, anders is dit niet het geval.

Matrixvergelijking[bewerken]

De vectorvergelijking is equivalent aan een matrixvergelijking van de vorm

A\bold{x}=\bold{b}

waar A een m×n matrix is, x een kolomvector met n elementen, en b is een kolomvector met m elementen.


A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\bold{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad
\bold{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

Het aantal vectoren in de basis voor het opspansel wordt nu uitgedrukt als de rang van de matrix.

De uitgebreide matrix [A|b] ontstaat door in de matrix A het rechterlid als extra kolom toe te voegen :

 [A|b] \, = \,
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & ...\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{bmatrix}

Oplossingsverzameling[bewerken]

De oplossingsverzameling voor de vergelijkingen x – y = –1 en 3 x + y = 9 is het enkele punt (2, 3).

Een oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen is een toekenning van waarden aan de variabelen x1x2, ..., xn zodanig dat aan elk van de vergelijkingen wordt voldaan. De verzameling van alle mogelijke oplossingen wordt de oplossingsverzameling genoemd.

Een lineair systeem kan zich op een van drie mogelijke manieren gedragen:

  1. Het systeem heeft oneindig veel oplossingen. (onbepaald stelsel)
  2. Het systeem heeft een enkele unieke oplossing.
  3. Het systeem heeft geen oplossingen. (vals stelsel)

Deze drie mogelijke gevallen kunnen gekoppeld worden aan twee stellingen. De eerste geeft informatie over het bestaan van oplossingen, de tweede over het aantal:

  • Stelling 1 : Een stelsel Ax=b is oplosbaar, enkel en alleen indien rang[A] = rang[A|b]
  • Stelling 2 : Indien het stelsel oplosbaar is, is het aantal vrije oplossingen = het aantal variabelen - rang[A]

Indien de uitgebreide matrix in echelonvorm staat zijn eventuele vrije oplossingen op eenvoudige wijze te herkennen: het zijn die variabelen die in de echelonvorm geen leidende 1 in hun kolom hebben. Bij een strijdig stelsel zal de rang[A] < rang[A|b]. Dit betekent dat, door de vergelijkingen te herschrijven, een vergelijking kan worden bekomen waarin alle coëfficiënten van de onbekenden nul zijn, maar met een rechterlid verschillend van nul.

Om de rang van een matrix op eenvoudige manier te kunnen zien, kan de uitgebreide matrix [A|b] best in echelonvorm worden gezet.

Meetkundige interpretatie[bewerken]

Voor een systeem met twee variabelen (x en y) bepaalt elke lineaire vergelijking een lijn op het xy-vlak. Omdat een oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen moet voldoen aan alle vergelijkingen die deel uitmaken van dit stelsel, is de oplossingsverzameling de doorsnede van deze lijnen. Deze doorsnede kan in dit geval bestaan uit een lijn, een enkel punt, of uit de lege verzameling.

Voor drie variabelen bepaalt elke lineaire vergelijking een vlak in de driedimensionale ruimte. De oplossingsverzameling is de doorsnede van deze vlakken en kan bestaan uit een vlak, een lijn, een enkel punt, of uit de lege verzameling.

Voor n variabelen bepaalt elke lineaire vergelijking een hypervlak in de n-dimensionale ruimte. De oplossingsverzameling is de doorsnede van deze hypervlakken en kan bestaan uit een vlak van elke dimensie.

Algemeen gedrag[bewerken]

In het algemeen wordt het gedrag van een stelsel van lineaire vergelijkingen bepaald door de verhouding tussen het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden:

  1. Meestal heeft een lineair stelsel met minder vergelijkingen dan onbekenden oneindig veel oplossingen.
  2. Meestal heeft een lineair stelsel met evenveel vergelijkingen en onbekenden een unieke oplossing.
  3. Meestal heeft een lineair stelsel met meer vergelijkingen dan onbekenden geen enkele oplossing.

In het eerste geval is de dimensie van de oplossingsverzameling meestal gelijk aan n – m waar n staat voor het aantal variabelen en m voor het aantal vergelijkingen.

De onderstaande afbeeldingen illustreren deze trichotomie in het geval van twee variabelen:

One Line.svg Two Lines.svg Three Lines.svg
Een vergelijking Twee vergelijkingen Drie vergelijkingen

Het eerste systeem heeft oneindig veel oplossingen, namelijk alle punten op de blauwe lijn. Het tweede systeem heeft een enkele unieke oplossing, namelijk het snijpunt van de twee lijnen. Het derde systeem heeft geen oplossing, want de drie lijnen delen geen gemeenschappelijk punt.

Houd er rekening mee dat de afbeeldingen hierboven alleen het meest voorkomende geval tonen. Het is mogelijk dat een lineair stelsel van twee vergelijkingen en twee onbekenden geen enkele oplossing heeft (bijvoorbeeld als de twee lijnen parallel aan elkaar lopen). Ook kan een stelsel van drie vergelijkingen en twee onbekenden wel degelijk oplosbaar zijn (bijvoorbeeld als de drie lijnen elkaar in een punt snijden). In het algemeen zal een stelsel van lineaire vergelijkingen zich anders dan verwacht gedragen als de vergelijkingen lineair afhankelijk zijn, of indien twee of meer van de vergelijkingen inconsistent zijn.

Voetnoten[bewerken]

  1. De lineaire algebra, zoals in dit artikel wordt besproken, is een reeds lang gevestigde wiskundige discipline, waarvoor zeer veel bronnen zijn. Bijna al het materiaal in dit artikel kan worden gevonden in een willekeurig leerboek lineaire algebra op universitair niveau.

Bronnen[bewerken]