Sterkteleer

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Sterkteleer of toegepaste mechanica onderzoekt de voorwaarden waaraan constructies moeten voldoen om niet te bezwijken, de gewenste stijfheid te hebben en voldoende duurzaam zijn.

Sterkteleer valt uiteen in elasticiteitsleer, plasticiteitsleer en breukleer, waarbij gebruik wordt gemaakt van theoretische mechanica, wiskunde en materiaalkunde. Sterkteleer is belangrijk bij het ontwerp van stilstaande en bewegende constructies in de bouwkunde en de werktuigkunde.

Basisbegrippen[bewerken]

Belastingen[bewerken]

Een belasting is het geheel van krachten en momenten dat inwerkt op een voorwerp of constructie. De belastingen die door een constructie moeten kunnen worden weerstaan, zijn:

  • nuttige belasting, die volgt uit de functie van de constructie;
  • eigen gewicht;
  • toevallige belastingen, zoals wind of sneeuw;
  • steunpuntsreacties.

Dit geheel zijn de uitwendige krachten. Een belasting kan op verschillende manieren op de constructie werken:

Inwendige krachten en koppels[bewerken]

Een belasting veroorzaakt een vormververandering. Zodra de belasting weggenomen wordt, zal het voorwerp zijn nieuwe vorm behouden of geheel of gedeeltelijk zijn oude vorm hernemen. De mate waarin dit gebeurt, hangt af van de veerkracht of elasticiteit van het materiaal. Deze wordt bepaald door de cohesie van de moleculen, waardoor er inwendige krachten optreden bij vormverandering. Deze inwendige krachten zijn onder te verdelen in:

Spanningen[bewerken]

Een kracht F die op een oppervlakte A werkt, veroorzaakt een spanning σ:

\sigma = \frac F A

Net als kracht is spanning een richtingsgrootheid. Een willekeurig gerichte spanning kan onderverdeeld worden in een normaalspanning σ – trek- dan wel drukspanning – en een schuifspanning of wringspanning τ.

Elasticiteitsmodulus[bewerken]

De optredende vervormingen zullen elastische vervorming veroorzaken tot de vloeigrens, waarboven onomkeerbare plastische vervorming optreedt. In het elastisch gebied geldt de wet van Hooke, waarbij de rek ε die optreedt lineair afhankelijk is van de aangebrachte spanning σ, met als evenredigheidsconstante de elasticiteitsmodulus E:

\epsilon = { \sigma \over E }

\epsilon wordt bepaald met de trekproef en uitgezet tegenover de spanning in een trekkromme.

Kwadratisch oppervlaktemoment[bewerken]

De weerstand tegen buiging, wringing en knik wordt bepaald door het kwadratisch oppervlaktemoment of oppervlaktetraagheidsmoment.

Buiging en afschuiving[bewerken]

Aan beide zijden ondersteunde balk met in het midden een puntbelasting. Daaronder de dwarskrachtenlijn en daaronder de buigende-momentenlijn.

Soorten lastgevallen[bewerken]

Bij stilstaande of anders genoemd statische kracht is er één soort lastgeval: in rust. Bij bewegende of dynamische kracht zijn er twee soorten lastgevallen: de golvende en wisselende.

  • In rust: De belasting van het bouwelement verandert niet, bijvoorbeeld draagkabel, pijler.
  • Golvend: Het bouwelement wordt in één richting belast of ontspannen, bijvoorbeeld kabels van hefwerktuigen.
  • Wisselend: De belasting van het bouwelement gebeurt in wisselende richting, bijvoorbeeld as op wisselende buiging.

De verschillende soorten belastingen[bewerken]

De aard en hun formules.

Trek en druk[bewerken]

Formules voor enkelvoudige trek en/of druk

Normaalspanning

\sigma = \frac{F}{A}
Rek (verlenging per lengteëenheid)

\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{EA}

De factor EA wordt rekstijfheid genoemd.

Verlenging voor homogene doorsneden

\delta = \int \limits_0^L \epsilon dx = \int \limits_0^L \frac{\sigma}{E} dx = \int \limits_0^L \frac{F}{E \cdot A} dx

Wanneer E en A constant zijn:


\delta = \frac{F \cdot L}{E \cdot A}
waarbij:
  • σ: normaalspanning (trek of druk) in N/mm²,
  • F: trek- of drukkracht in N,
  • E: elasticiteitsmodulus in N/mm²,
  • δ: Verlenging in mm,
  • ε: Langsrek (verlenging per lengteëenheid),
  • A: oppervlakte van de dwarsdoorsnede in mm²;
  • L: lengte in mm;

Buiging[bewerken]

formules
Normaalspanning
\sigma = \frac{M_b \cdot y}{I}
met
I = \int\limits_A y^2 dA
Rek (verlenging per lengteëenheid)
\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{y}{\rho}
Kromming van de neutrale vezel
\rho^{-1} = \frac{M_b}{EI}

De factor EI noemt de buigstijfheid.

waarbij:
  • σ: normaalspanning in een punt in N/mm²,
  • Mb: buigmoment op de dwarsdoorsnede in Nmm,
  • y: de afstand tot de neutrale vezel in mm,
  • I: oppervlaktetraagheidsmoment in mm4,
  • ε: rek (verlenging per lengteëenheid) in mm/mm,
  • ρ: kromtestraal van de neutrale vezel in mm,
  • A: Oppervlakte van de dwarsdoorsnede in mm²,
  • E: elasticiteitsmodulus in N/mm²,

Afschuiving[bewerken]

Vereenvoudigde formules[bewerken]

Onderstaande vereenvoudigde formules, enkel toepasbaar voor klinknagels, bout- en lasverbindingen en andere situaties waar de dwarskracht rechtstreeks aangrijpen in het vlak van de afschuiving.

Schuifspanning
\tau = \frac{T}{A}
Glijdingshoek
\gamma = \frac{\tau}{G} = \frac{T}{GA}
waarbij
  • τ: schuifspanning in een punt in N/mm²,
  • T: dwarskracht op de dwarsdoorsnede in N,
  • A: Oppervlakte van de dwarsdoorsnede in mm²,
  • G: glijdingsmodulus in N/mm²,
  • γ: glijdingshoek in radialen.

Formule voor afschuiving bij balken[bewerken]

De vereenvoudigde aannames zoals hierboven zijn niet toepasbaar op balken. Hiervoor werd een verbeterde theorie opgesteld (Jourawki-formule).

Schuifspanning in een punt
\tau = \frac{T \cdot S}{b \cdot I}
waarbij
  • τ: schuifspanning in een punt in N/mm²,
  • T: dwarskracht op de dwarsdoorsnede in N,
  • S: statisch moment ten opzichte van het beschouwde punt in mm3,
  • I: oppervlaktetraagheidsmoment in mm4,
  • b: breedte van de dwarsdoorsnede ter hoogte van het beschouwde punt in mm,

Wringing (torsie)[bewerken]

formules

Voor cirkelvormige dwarsdoorsnedes gelden volgende formules:

schuifspanning
\tau = \frac{M_w \cdot \rho}{I_p}
met
I_p = \int\limits_A \rho^2 dA
wringingshoek per lengteëenheid
\theta = \frac{M_w}{G \, I_p}

De factor G Ip noemt de wringstijfheid.

rotatiehoek van verschillende dwarsdoorsnedes A en B ten opzicht van elkaar
\psi_{A-B} = \int\limits_{A}^{B} \theta dx = \int\limits_{A}^{B} \frac{M_w}{G \, I_p} dx

Voor constante doorsnedes en wringmoment wordt dit

\psi_{A-B} = \frac{M_w \, L}{G \, I_p}
waarbij:
  • τ: schuifspanning in een punt in N/mm²,
  • Mw: wringmoment op de dwarsdoorsnede in Nmm,
  • ρ: afstand tot het middelpunt van de dwarsdoorsnede in mm,
  • Ip: polair traagheidsmoment in mm4,
  • A: Oppervlakte van de dwarsdoorsnede in mm²,
  • θ: wringingshoek per lengteëenheid in radiaal/mm,
  • G: glijdingsmodulus in N/mm²,
  • L: de afstand tussen dwarsdoorsnedes A en B in mm,
  • ψ: rotatiehoek in radialen.

Diepergaande uitleg[bewerken]

Een diepergaande behandeling van de sterkteleer is te vinden in het Wikibook Sterkteleer.

Zie ook[bewerken]

Wikibooks Wikibooks heeft een studieboek over dit onderwerp: Sterkteleer.