Storingsrekening

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Storingsrekening of perturbatietheorie is een wiskundige discipline die zich bezighoudt met het zoeken van benaderende oplossingen van problemen die niet exact opgelost kunnen worden. Als zo'n probleem beschreven kan worden door een kleine storingsterm toe te voegen aan een verwant probleem dat wel exact oplosbaar is, wordt als uitgangspunt voor de benadering de exacte oplossing genomen van het verwante probleem. Typisch gaat het om een probleem dat niet exact kan worden opgelost omdat het te moeilijk is, of omdat een exacte oplossing zelfs principieel niet mogelijk is. Storingsrekening laat soms toe de oplossing van een probleem te construeren met toenemende precisie, mits men over voldoende tijd en rekenkracht beschikt.

In veel gevallen vormen de opeenvolgende benaderingstermen een divergerende machtreeks in de storingsparameter. Zo'n rij vormt dan een goede benadering voor kleine waarden van de storingsparameter als een vast aantal termen wordt meegenomen. In zo'n geval kan men vaak hersommatietechnieken gebruiken zoals Borel-hersommatie om de de hele divergerende storingsreeks bij benadering te sommeren en op die manier het gedrag van de oplossing te kunnen bepalen voor grote waarden van de storingsparameter.

Formulering[bewerken]

De volledige oplossing A van het probleem kan benaderd worden door een formele machtreeks in de (kleine) storingsparameter \varepsilon:

 A=A_0 + \varepsilon A_1 + \varepsilon^2 A_2 + \ldots

Daarin is A_0 de exacte oplossing van het verwante probleem en vormen A_1, A_2, \dots successievelijke benaderingen die door een systematische procedure gevonden worden. Doordat \varepsilon klein is, worden de hoger-ordebenaderingen steeds minder belangrijk. In veel gevallen volstaat het voor een goede benadering slechts de eerste twee termen mee te nemen:

 A\approx A_0 + \varepsilon A_1

Een bijzonder grote klasse problemen die typisch worden opgelost met perturbatietheorie, zijn differentiaalvergelijkingen. Veel problemen, uit bijna alle takken van de exacte wetenschappen, geven aanleiding tot dit soort vergelijkingen. Voorbeelden zijn: de beweging van hemellichamen, de tijdsevolutie in thermodynamische systemen en de beschrijving van kwantummechanica.

Er zijn ook veel systemen die, indien perturbatietheorie wordt toegepast, aanleiding geven tot gelijksoortige vergelijkingen. Meer precies is de alomtegenwoordigheid van golven en oscillatiepatronen in de natuur, de economie, de ecologie, en andere vakgebieden terug te brengen tot het feit dat veel van deze systemen (tot op eerste orde in de perturbatieparameter \epsilon) aan hetzelfde type vergelijking voldoen.

Voorbeeld[bewerken]

De differentiaalvergelijking van een trilling met wrijving is:

\ddot x + \varepsilon \dot x^2 +x = 0,

met als beginvoorwaarden:

x(0)=1
\dot x(0)=0

Deze vergelijking, met de wrijvingscoëfficiënt ε als (kleine) storingsparameter, kan met storingrekening benaderd opgelost worden. De vergelijking kan verkregen worden uit de exact oplosbare diiferentiaalvergelijking voor de harmonische trilling

\ddot x + x = 0,

door toevoeging van de storingsterm

\varepsilon \dot x^2.

Een eerste-ordebenadering van de oplossing is:

x=x_0 + \varepsilon x_1.

Door invullen in de differentiaalvergelijking ontstaat:

\ddot x_0 + \varepsilon\ \ddot x_1 + \varepsilon \dot x_0^2 + 2 \varepsilon^2\dot x_0 \dot x_1 + \varepsilon^3 \dot x_1^2 + x_0 + \varepsilon x_1 = 0.

In eerste orde levert dit dat de coëfficiënten van ε° en ε¹ gelijk moeten zijn aan 0. Voor ε° levert dat:

\ddot x_0 +x_0=0

en voor de beginvoorwaarden:

x_0(0)=1
\dot x_0(0)=0

met als oplossing:

x_0(t)=\cos(t)

Voor ε¹ levert dat:

\ddot x_1 +x_1 = - \dot x_0^2

en voor de beginvoorwaarden:

x_1(0)=0
\dot x_1(0)=0.

Dus:

\ddot x_1 +x_1 = - \sin^2(t)

met als oplossing:

x_1(t)=-\tfrac 13(\cos(t)-1)^2

zodat in eerste orde de benaderde oplossing wordt:

x(t)=x_0(t) + \varepsilon x_1(t)=\cos(t)-\tfrac 13\varepsilon \left(\cos(t)-1 \right)^2.

Om een benadering van tweede orde te krijgen, stellen we:

x=x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2.

Invullen in de differentiaalvergelijking levert weer de bovengenoemde vergelijkingen voor x_0 en x_1. Voor x_2 krijgen we door nulstellen van de coëfficiënt van ε²:

\ddot x_2 + x_2 = -2\dot x_0\dot x_1 = \tfrac 43\sin^2(t)(\cos(t)-1)

Externe links[bewerken]