Storingsrekening

Storingsrekening of perturbatietheorie is een wiskundige discipline die zich bezighoudt met het zoeken van benaderende oplossingen van problemen die niet exact opgelost kunnen worden. Als zo'n probleem beschreven kan worden door een kleine storingsterm toe te voegen aan een verwant probleem dat wel exact oplosbaar is, wordt als uitgangspunt voor de benadering de exacte oplossing genomen van het verwante probleem. Typisch gaat het om een probleem dat niet exact kan worden opgelost omdat het te moeilijk is, of omdat een exacte oplossing zelfs principieel niet mogelijk is. Storingsrekening laat toe de oplossing van een probleem te construeren met steeds grotere precisie, mits men over voldoende tijd en rekenkracht beschikt.

Formulering

De volledige oplossing A van het probleem, kan benaderd worden door een machtreeks in de (kleine) storingsparameter ε:

$A=\varepsilon^0 A_0 + \varepsilon^1 A_1 + \varepsilon^2 A_2 + \cdots$

Daarin is $A_0$ de exacte oplossing van het verwante probleem, en vormen $A_1, A_2, \dots$ successievelijke benaderingen die door een systematische procedure gevonden worden. Doordat $\varepsilon$ klein is, worden de hogere-ordebenaderingen steeds minder belangrijk.

Een bijzonder grote klasse problemen welke typisch worden opgelost met perturbatietheorie zijn differentiaalvergelijkingen. Een onnoemelijk aantal problemen uit bijna alle takken van de exacte wetenschappen geven aanleiding tot dit soort vergelijkingen. Voorbeelden zijn: de beweging van hemellichamen, de tijdsevolutie in thermodynamische systemen, de beschrijving van kwantummechanica,...

Een erg groot aantal systemen geeft aanleiding tot erg gelijkaardige vergelijkingen, indien perturbatietheorie wordt aangewend. Meer precies is de alomtegenwoordigheid van golven en oscillatiepatronen in de natuur, economie, ecologie, .. terug te brengen tot het feit dat veel van deze systemen (tot op eerste orde in de perturbatieparameter $\epsilon$) aan dezelfde vergelijking voldoen.

Voorbeeld

De differentiaalvergelijking van een trilling met wrijving is:

$\ddot x + \varepsilon \dot x^2 +x = 0.$

Als beginvoorwaarden nemen we:

$\!\;x(0)=1$

$\!\;\dot x(0)=0$

Deze vergelijking, met de wrijvingscoëfficiënt ε als (kleine) storingsparameter kan met storingrekening benaderd opgelost worden. De vergelijking kan verkregen worden uit de exact oplosbare diiferentiaalvergelijking voor de harmonische trilling

$\!\;\ddot x + x = 0,$

door toevoeging van de storingsterm

$\varepsilon \dot x^2.$

Een eerste-ordebenadering van de oplossing is:

$\!\;x=x_0 + \varepsilon x_1$

Door invullen in de differentiaalvergelijking krijgen we:

$\ddot x_0 + \varepsilon\ \ddot x_1 + \varepsilon \dot x_0^2 + 2 \varepsilon^2\dot x_0 \dot x_1 + \varepsilon^3 \dot x_1^2 + x_0 + \varepsilon x_1 = 0.$

In eerste orde levert dit dat de coëfficiënten van ε° en ε¹ gelijk moeten zijn aan 0. Voor ε° levert dat:

$\ddot x_0 +x_0=0$

en voor de beginvoorwaarden:

$\!\;x_0(0)=1$

$\!\;\dot x_0(0)=0$

met als oplossing:

$\!\;x_0(t)=\cos(t)$

Voor ε¹ levert dat:

$\ddot x_1 +x_1 = - \dot x_0^2$

en voor de beginvoorwaarden:

$\!\;x_1(0)=0$

$\!\;\dot x_1(0)=0$.

Dus:

$\ddot x_1 +x_1 = - \sin^2(t)$

met als oplossing:

$\!\;x_1(t)=-\tfrac 13(\cos(t)-1)^2$

zodat in eerste orde de benaderde oplossing wordt:

$x(t)=x_0(t) + \varepsilon x_1(t)=\cos(t)-\tfrac 13\varepsilon \left(\cos(t)-1 \right)^2$.

Om een benadering van tweede orde te krijgen, stellen we:

$\!\;x=x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2$.

In vullen in de differentiaalvergelijking levert weer de bovengenoemde vergelijkingen voor $\!\;x_0$ en $\!\;x_1$. Voor $\!\;x_2$ krijgen we door nulstellen van de coëfficiënt van ε²:

$\ddot x_2 + x_2 = -2\dot x_0\dot x_1 = \tfrac 43\sin^2(t)(\cos(t)-1)$

Externe links

• Chapter II: Introduction to perturbation methods Johan Byström, Lars-Erik Persson, en Fredrik Strömberg. Website met verschillende hoofdstukjes over elementaire perturbatietheorie.
• Introduction to regular perturbation theory door Eric Vanden-Eijnden (PDF). Een korte introductie tot perturbatietheorie, met voorbeelden en toepassingen voor het oplossen van vergelijkingen.