Strookpatroongroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Strookpatroongroepen zijn symmetriegroepen in 2D die in precies één richting translaties bevatten. Ze zijn nauw verwant aan de zeven reeksen van symmetriegroepen in 3D met bij de laatste rotatie in plaats van translatie, en zijn min of meer te beschouwen als het geval n = ∞ (de notatie is daar ook op gebaseerd). Strookpatroongroepen zijn in zoverre eenvoudiger dat er geen onderscheid aan de orde is tussen even en oneven n, en ook geen uitzonderingen voor kleine waarden van n; ook speelt alles zich af in 2D; daar staat tegenover dat de groepen oneindig groot zijn.

Door herhaling in één richting van eenheden in een vlak kunnen patronen gevormd worden.

Strookpatronen worden onder andere toegepast in de architectuur als friezen.

De 7 strookpatroongroepen

Er zijn (afgezien van positie en stand, en van de grootte van de translatie) exact 7 strookpatroongroepen die zijn opgebouwd uit combinaties van

Elke symmetriegroep wordt voortgebracht door een van de twee kleinste niet-triviale translatievectoren, eventueel met een of enkele andere isometrieën. De translatie hoeft niet bij de voortbrengers te worden genoemd als deze zelf wordt voortgebracht door een genoemde glijspiegeling.

De 7 strookpatronen zijn (bij een horizontale translatievector):

  • met chirale versie C:
    • 1. C (voortgebracht door een translatievector); algebraïsch: Z.
    • 2. S (voortgebracht door een glijspiegeling bestaande uit een spiegeling in een horizontale lijn en een translatie; heeft ook een zuivere translatie van tweemaal de genoemde translatievector); algebraïsch: Z.
    • 3. C∞h (voortgebracht door een translatievector en een spiegeling in een horizontale lijn; heeft ook glijspiegeling); algebraïsch: Z × C2.
    • 4. C∞v (voortgebracht door een translatievector en een spiegeling in een verticale lijn); algebraïsch: D (oneindige dihedrale groep)
  • met chirale versie D:
    • 5. D (voortgebracht door een translatievector en een 180° rotatie); algebraïsch: D
    • 6. D∞d (voortgebracht door een spiegeling in een verticale lijn en een glijspiegeling bestaande uit een spiegeling in een horizontale lijn en een translatie; heeft ook een zuivere translatie van tweemaal de genoemde translatievector, en een 180° rotatie); algebraïsch: D
    • 7. D∞h (voortgebracht door een translatievector en twee van de volgende drie: een spiegeling in een horizontale lijn, een spiegeling in een verticale lijn en een 180° rotatie; heeft ook de derde en een glijspiegeling); algebraïsch: D × C2.