Sturm-liouvillevraagstuk

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Sturm-Liouvillevraagstuk)
Ga naar: navigatie, zoeken

Een sturm-liouvillevraagstuk is een naar Jacques Charles François Sturm en Joseph Liouville genaamd wiskundig vraagstuk, meer bepaald een differentiaalvergelijking over het eindig interval I = [a,b] van de vorm:

-\frac{d}{dx}\left[p(x) \frac{dy(x)}{dx}\right] + q(x) y(x) = \lambda w(x) y(x)

met niet-triviale randvoorwaarden:

\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0
\beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0

Hierbij zijn de afbeeldingen p, p', q en w continue en reëelwaardig, met p(x) > 0 en w(x) > 0.

De triviale oplosssing y(x) = 0 is altijd een oplossing. Echter voor sommige waarden van λ bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden \lambda_n met bijhorende eigenfuncties y_n(x).

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

  • De eigenwaarden \lambda_1, \lambda_2, ... zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:
\lambda_1 < \lambda_2 < ... < \lambda_n < ...
met limiet \lim_{n \to + \infty} \lambda_n = + \infty
  • De bij \lambda_n horende eigenfuntie f_n(x) is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact n - 1 nulpunten in het interval ]a,b[.
  • De eigenfuncties y_n(x) vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie w(x) over [a,b]
\langle y_n,y_m \rangle = \int_a^b y_n(x)y_m(x)w(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{mn}

Sturm-Liouvillevraagstukken hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestica.