Symmetriegroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een regelmatig viervlak kan door middel van rotatie in 12 verschillende posities worden geplaatst. Deze worden hiernaast geïllustreerd hierboven in een cyclische graaf, samen met de 180° (blauwe pijlen) en de 120° (rode pijlen) rotaties, die de tetraëder door de twaalf posities permuteren. Deze 12 rotaties vormen de symmetrische rotatiegroep van het viervlak.

De symmetriegroep van een meetkundige figuur of van een patroon, in 1D, 2D, 3D of in een hogere dimensie, is een isometriegroep, dus een subgroep van de euclidische groep E(n), en wel de groep van de isometrieën onder welke deze figuur hetzelfde blijft, onder de samenstelling van deze operaties (zie ook groepswerking). Een object blijft dus invariant onder zijn eigen symmetriegroep. De symmetrieën van een object worden precies bepaald door de symmetriegroep van dat object.

Om zich een voorstelling te maken van een bepaalde symmetrie(groep) of om die te beschrijven kan men denken/refereren aan een 2D figuur of een 3D object met die symmetrie. Soms kan men hetzelfde object gebruiken voor het beschrijven van meerdere symmetrieën, door verschillende beschilderingen van het object te onderscheiden; de symmetriegroep van het beschilderde object is een subgroep van die van het blanco object.

Chiraliteit[bewerken]

Isometrieën kunnen worden ingedeeld in die zonder en die met verandering van oriëntatie; het laatste geldt:

  • in 1D voor spiegeling in een punt
  • in 2D voor spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling
  • in 3D voor spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling

Puntspiegeling in 2D valt hier niet onder.

Een symmetriegroep bevat óf alleen isometrieën zonder verandering van oriëntatie (zo'n symmetriegroep en figuren/objecten met zo'n symmetriegroep heten chiraal), of zowel met als zonder. In het laatste geval vormen de isometrieën zonder verandering van oriëntatie een subgroep: de chirale versie van de symmetriegroep, corresponderend met de chirale versie van de betreffende symmetrie.

Als de positie en stand van spiegels[1] buiten beschouwing gelaten wordt zijn alle eindige chirale symmetriegroepen in 1D en 2D de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep, maar in 3D zijn alle eindige chirale symmetriegroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen, behalve bij octahedrale en icosahedrale symmetrie (zie onder). Ook zijn alle chirale strookpatroongroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen. Van de chirale behangpatroongroepen is alleen p6 de chirale versie van maar één achirale symmetriegroep.

In 3D is elke eindige chirale symmetriegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die Ci (zie onder) bevat, namelijk de directe som van die chirale symmetriegroep en Ci[2][3].

In 3D is ook elke translatiegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die Ci bevat, die ook gevormd door toevoeging van de combinaties van een translatie en de inverse, alleen commuteren die niet. Iets dergelijks kan ook gelden bij andere chirale symmetriegroepen, maar dan met dien verstande dat het gaat om de inversie t.o.v. een geschikt punt, bijvoorbeeld op een rotatie-as.

Groepsstructuur[bewerken]

Soms heeft een symmetriegroep S twee subgroepen G en H met de volgende eigenschappen:

  • G en H hebben alleen de identieke functie gemeenschappelijk.
  • Ieder element van S kan geschreven worden als gh met g in G en h in H.
  • Voor g in G en h in H geldt gh = hg.

Ieder element van S kan dan op precies één manier geschreven worden als gh met g in G en h in H. De groepsoperatie van S kan teruggebracht worden tot die binnen G en H: (g1h1)(g2h2) = (g1g2)(h1h2).

In 1D, 2D en 3D kan bijvoorbeeld H de groep zijn voortgebracht door inversie, en G een groep die de inversie niet bevat. In 3D is een ander voorbeeld: G bestaat uit rotaties om een as en eventueel spiegelingen om vlakken door die as, en H wordt voortgebracht door spiegeling in een vlak loodrecht op de as.

Een en ander kan de structuur van de symmetriegroep verduidelijken; hieronder wordt de notatie S = G \oplus H gebruikt. Een gevolg van deze relatie (niet hetzelfde!) is dat de algebraïsche structuur van S het product is van die van G en H. Ter onderscheiding wordt daarbij het teken × gebruikt.

Zie ook directe som, direct product.

Eindige symmetriegroepen[bewerken]

Een achirale symmetriegroep bevat evenveel chirale als achirale elementen.

Men kan een object dat qua vorm een bepaalde symmetrie heeft beschilderen (bijvoorbeeld in het geval van een veelvlak door de zijvlakken te kleuren of te nummeren) zodanig dat er geen symmetrie meer is. Elke stand van het object waarin het dezelfde ruimte inneemt als in de oorspronkelijke stand correspondeert met een element van de symmetriegroep; de standen zijn te onderscheiden door de beschildering (zie de afbeelding). De standen waarin men het object daadwerkelijk kan plaatsen zijn die waarbij men alleen hoeft te draaien; deze corresponderen met de elementen van de chirale versie van de symmetriegroep. Als het object qua vorm achirale symmetrie heeft, kan men de standen die corresponderen met de overige elementen van de symmetriegroep in een spiegel zien.

1D[bewerken]

De symmetriegroepen zijn de triviale groep (geen symmetrie) en de groepen van orde 2 die bestaan uit de identieke afbeelding en een puntspiegeling. In de notatie van orthogonale groepen zijn dit SO(1) en O(1).

2D[bewerken]

Van een chirale figuur is de symmetriegroep een cyclische groep van orde n, corresponderend met rotatiesymmetrie van orde n t.o.v. een punt (n = 1, 2, 3, ..). Het geval n = 1 geldt voor een figuur zonder symmetrie.

Van de overige figuren is de symmetriegroep een dihedrale groep van orde 2n (n = 1, 2, 3, ..), bepaald door de positie van het rotatiepunt en de stand van de spiegels.[4] Er zijn n spiegels, die hoeken maken van 180°/n. Als n oneven is, verkrijgt men deze uit één spiegel door steeds te draaien over de hoek corresponderend met de rotatiesymmetrie: 360°/n. Als n even is, krijgt men op deze wijze maar de helft van de spiegels, doordat men na n/2 draaiingen weer de oorspronkelijke spiegel krijgt. De overige spiegels zitten hier tussenin.

Voorbeelden van figuren met als symmetriegroep de dihedrale groep zijn de regelmatige veelhoeken. Voorbeelden van chirale figuren zijn die zonder symmetrie (n = 1) en die met een S-vorm (n = 2); voor n > 2 zijn ze iets minder eenvoudig en gebruikelijk, voorbeelden zijn de verkeersborden voor een rotonde, en het hakenkruis.

3D[bewerken]

De volgende soorten isometrie kunnen voorkomen in eindige symmetriegroepen:

  • zonder verandering van oriëntatie (in de zin van "zonder spiegeling")
    • identieke afbeelding (zit er altijd in)
    • draaiing om een as over een hoek die een rationaal getal maal 360° is
  • met verandering van oriëntatie:
    • spiegeling in een vlak
    • draaiing om een as over een hoek die een rationaal getal maal 360° is en een spiegeling in een vlak loodrecht op die as

Afgezien van de positie en stand van het geheel zijn er 7 reeksen symmetriegroepen (met index n = 1, 2, 3, ..) en 7 aparte.

De symmetriegroepen in de zeven reeksen met n = 3, 4, 5, .. zijn de symmetriegroepen met één as van rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee, en wel van orde n. De zeven aparte hebben er meer, ze hebben alle zeven meerdere assen van rotatiesymmetrie van orde 3, in drie gevallen ook van orde 4, en in twee gevallen niet van orde 4 maar wel van orde 5. Verder zijn er enkele symmetriegroepen zonder rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee, ze vallen onder de zeven reeksen, met n = 1 en 2, maar het zijn er 10 in plaats van 14, want 8 zijn er twee aan twee hetzelfde. Meer mogelijkheden zijn er voor eindige symmetriegroepen niet, dus als er bijvoorbeeld een as van rotatiesymmetrie van orde 6 is dan is er geen andere as van rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee; verder bestaat er bijvoorbeeld geen eindige symmetriegroep met een as van rotatiesymmetrie van orde 4 en een andere van orde 5.

Als een polyhedron waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn, dient als voorbeeld voor een achirale symmetrie(groep) dan kan men een voorbeeld van de chirale versie van de symmetriegroep construeren door voor een of meer van de van toepassing zijnde waarden van n elk zijvlak dat een regelmatige n-hoek is te voorzien van dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde n (alle chirale symmetrie blijft intact, alle achirale vervalt).

De zeven reeksen[bewerken]

Voorbeelden voor n = 6[5]

De symmetriegroepen in de zeven reeksen zijn gerelateerd aan de zeven strookpatroongroepen, met rotatie in plaats van translatie. In dezelfde volgorde als de strookpatroongroepen zijn dit (met voorbeelden):

  • Met chirale versie Cn:
    • Cn[6] (orde n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde n; het draaiende deel van een windturbine / propeller / scheepsschroef / ventilator e.d. met n bladen heeft ook vaak deze symmetrie (geen extra symmetrie)
    • S2n (orde 2n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde n en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 180°/n gedraaid; voor oneven n geldt S2n = Cn \oplus Ci; de groep is cyclisch en wordt voortgebracht door een draaispiegeling
    • Cnh = Cn \oplus Cs[7] (orde 2n): een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde n; voor even n geldt ook Cnh = Cn \oplus Ci
    • Cnv (orde 2n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n; een regelmatige piramide (orde als voor de figuur / het grondvlak; er is geen extra symmetrie)
  • Met chirale versie Dn[8]:
    • Dn (orde 2n): een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde n
    • Dnd (orde 4n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n en op de andere zijde dezelfde figuur maar dan 180°/n gedraaid; een regelmatig antiprisma; voor oneven n geldt Dnd = Dn \oplus Ci
    • Dnh = Cnv \oplus Cs (orde 4n): een ronde plaat met door en door een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n; een regelmatig prisma; een regelmatige bipiramide; voor even n geldt ook Dnh = Dn \oplus Ci

De symmetriegroepen zonder rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee[bewerken]

Voor n = 1 en 2 geeft het bovenstaande 14 gevallen waarvan er 8 twee aan twee gelijk zijn, dus 10 verschillende, als volgt. Bij twee gelijke is per notatie een voorbeeld gegeven dat overeenkomt met het boven gegeven voorbeeld.

Met chirale versie C1:

  • C1 (orde 1) een ronde plaat met op één zijde een asymmetrische figuur (chiraal)
  • Ci (= S2) (orde 2): een ronde plaat met op één zijde een asymmetrische figuur en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 180° gedraaid (puntsymmetrie, de groep voortgebracht door puntspiegeling)
  • Cs (= C1h = C1v) (orde 2), spiegelsymmetrie, twee dezelfde:
    • C1h: een ronde plaat met door en door een asymmetrische figuur
    • C1v: een ronde plaat met op één zijde een figuur met spiegelsymmetrie

Met chirale versie C2:

  • C2 (= D1) (orde 2): rotatiesymmetrie van orde 2, twee dezelfde:
    • C2: een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde 2
    • D1: een ronde plaat met op beide zijden dezelfde asymmetrische figuur
  • S4 (orde 4): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde 2 en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 90° gedraaid[9]
  • C2v/D1h (orde 4): twee loodrechte spiegels, wat impliceert dat de snijlijn een rotatie-as van orde 2 is, twee dezelfde:
    • C2v: een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 4
    • D1h: een ronde plaat met door en door een figuur met spiegelsymmetrie
  • C2h = C2 \oplus Ci (= D1d) (orde 4): een rotatie-as van orde 2 loodrecht op een spiegel, twee dezelfde:
    • C2h: een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde 2
    • D1d: een ronde plaat met op één zijde een figuur met spiegelsymmetrie en op de andere zijde dezelfde figuur maar dan 180° gedraaid

Met chirale versie D2:

  • D2 = C2 \oplus C2 (orde 4): een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde 2 (chiraal)
  • D2d (orde 8): een ronde plaat met op één zijde een rechthoek en op de andere zijde dezelfde rechthoek maar dan 90° gedraaid
  • D2h = Cs \oplus Cs \oplus Cs = D2 \oplus Ci (orde 8): een rechthoekige plaat

Polyhedrale symmetrie[bewerken]

Er zijn zeven symmetriegroepen met meer dan één as van rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee. Deze corresponderen met symmetrieën die soms gezamenlijk worden aangeduid als polyhedrale symmetrie.

Van de drie symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 zonder assen van hogere orde corresponderen er twee met tetrahedrale symmetrie (achirale versie Td en chirale versie T). De orde is 24, resp. 12. Dit is de symmetrie van het viervlak. Td is algebraïsch de symmetrische groep S4, want de elementen van Td komen 1-op-1 overeen met de permutaties van de 4 hoekpunten. T is algebraïsch de alternerende groep A4, want de elementen van T komen 1-op-1 overeen met de even permutaties van de 4 hoekpunten. De derde, Th, is pyritohedrale symmetrie, dit is de symmetrie van een kubus met op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken. De orde is 24. Th = T \oplus Ci en dus algebraïsch A4 × C2. De groep T is niet alleen de chirale versie van Td maar ook van Th.

De twee symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 en assen van orde 4 corresponderen met octahedrale symmetrie (achirale versie Oh en chirale versie O). De orde is 48, resp. 24. Dit is de symmetrie van de kubus. O is algebraïsch de symmetrische groep S4, want de elementen komen 1-op-1 overeen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus. De beide versies van de stompe kubus zijn chiraal met O als totale symmetriegroep. Oh = O \oplus Ci en dus algebraïsch S4 × C2. Naast O zijn ook Td en Th (en dus T) subgroepen van Oh. De groep T is een subgroep van O. De groepen Oh, O, Td, Th en T zijn de symmetriegroepen van de kubus met:

  • voor Oh blanco zijden
  • voor O op elk zijvlak dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde 4
  • voor Td op elk zijvlak een diagonaal zo dat die samen een tetraëder vormen
  • voor Th op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken
  • voor T zowel het bij Td als Th genoemde

De twee symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 en assen van orde 5 corresponderen met icosahedrale symmetrie (achirale versie Ih en chirale versie I). De orde is 120, resp. 60. Dit is de symmetrie van de dodecaëder, icosaëder en afgeknotte icosaëder. De beide versies van de stompe dodecaëder zijn chiraal met I als totale symmetriegroep. I is algebraïsch A5 (de even permutaties van 5 elementen). De 20 hoekpunten van een dodecaëder kunnen namelijk (op twee manieren) worden verdeeld over 5 groepen van 4 die elk de hoekpunten vormen van een tetraëder. De elementen van I corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. Ih = I \oplus Ci en dus algebraïsch A5 × C2.

Eigenschappen en aantallen[bewerken]

Voor k een viervoud plus 0, 1, 2, 3 is het aantal symmetriegroepen van orde k, zoals uit het bovenstaande volgt, resp. 7, 1, 5, 1, met als uitzonderingen voor k = 2, 4, 12, 24, 48, 60. 120 resp. 3, 5, 8, 10, 8, 8, 8 (waarvan chiraal resp. 2, 1, 2, 1 en 1, 2, 3, 3, 2, 3, 2).

Cyclisch (en dus abels) zijn Cn, S2n, en Cnh voor oneven n. Ook abels zijn Cnh voor even n (Cn \oplus Cs), D2 (C2 \oplus C2), C2v/D1h (Cs \oplus Cs) en D2h (Cs \oplus Cs \oplus Cs).

Voor k een viervoud plus 0, 1, 2, 3 is het aantal cyclische symmetriegroepen van orde k dus resp. 2, 1, 3, 1 en het aantal abelse symmetriegroepen van orde k resp. 3, 1, 3, 1, met als uitzonderingen voor k = 4, 8 resp. 5, 4.

Anders gerangschikt:

  • Voor oneven k is er één symmetriegroep; deze is cyclisch, dus abels, en chiraal.
  • Voor k een viervoud plus 2 zijn er vijf symmetriegroepen (drie voor k = 2):
    • één is cyclisch en chiraal
    • twee zijn cyclisch en achiraal
    • één is niet-abels en chiraal (niet voor k = 2)
    • één is niet-abels en achiraal (niet voor k = 2)
  • Voor k een viervoud zijn er zeven symmetriegroepen (vijf voor k = 4, acht voor k = 12, 48, 60, 120, tien voor k = 24):
    • één is cyclisch en chiraal
    • één is cyclisch en achiraal
    • één is niet-abels en chiraal (voor k = 12, 24, 60 twee; voor k = 4 is de groep niet-cyclisch maar wel abels)
    • één is niet-cyclisch maar wel abels, en achiraal (twee voor k = 4, 8)
    • drie zijn niet-abels en achiraal (niet voor k = 4, twee voor k = 8, vier voor k = 48, 120, vijf voor k = 24)

De kleinste abstracte groepen die voor geen enkele symmetriegroep van toepassing is zijn zijn C3 × C3 en de dicyclische groepen Dic2 (quaternionengroep) en Dic3.

Er zijn twee symmetriegroepen met een even aantal elementen zonder ondergroep met de helft van het aantal elementen: T en I.

Zie ook de lijst van kleine groepen.

Oneindige symmetriegroepen[bewerken]

Een symmetriegroep heeft oneindig veel elementen o.m. als er translaties bij zijn, zie ook strookpatroongroep en behangpatroongroep. Een ander voorbeeld in 2D is de symmetriegroep corresponderend met cirkelsymmetrie, de orthogonale groep O(2).

Scheikunde[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Moleculaire symmetrie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de scheikunde wordt de definitie van een symmetriegroep iets ruimer gesteld en worden lijnspiegelingen wel toegestaan. Wanneer de symmetriegroep van een molecuul of van een rooster alleen de eigenlijke symmetriegroep is, heet het molecuul of rooster chiraal. In een chiraal molecuul of rooster komen dus geen lijnspiegelingen voor, die het molecuul of rooster hetzelfde laten.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Het woord spiegel wordt hier kortweg gebruikt voor een punt in 1D, lijn in 2D of vlak in 3D ten opzichte waarvan er spiegelsymmetrie is.
  2. Bij cyclische groepen wordt dezelfde notatie gebruikt voor de groep en een bepaald element dat de groep voortbrengt.
  3. Waar een isometrie gelijkgesteld wordt met een isometrieënpaar wordt bedoeld dat de isometrie de samenstelling van de twee is. Dit wordt alleen toegepast als het resultaat niet afhangt van de volgorde.
  4. Bij een algebraïsche indeling van groepen spreekt men bijvoorbeeld van de groep van orde 3, er is er maar één. Hier spreken we over een groep van orde 3, er zijn er oneindig veel; elk punt van het vlak kan namelijk het rotatiepunt zijn, en dat levert steeds een andere verzameling van drie isometrieën op (één van de drie is steeds hetzelfde, de identieke afbeelding, de andere twee zijn steeds anders; uit de keuze van één volgt wat de ander is, die is namelijk de inverse). Afhankelijk van de context neemt men zulke analoge gevallen ook vaak samen en spreekt men van één groep.
  5. Voor de groep van orde 2n wordt soms (ook in de figuur) de notatie Sn gebruikt in plaats van S2n.
  6. De notaties Cn en Dn worden zowel voor de symmetriegroep als voor de algebraïsche groep gebruikt (en in het geval van Cn soms ook nog voor één voortbrengende isometrie, een draaiing over 360°/n). Uit de context blijkt welke betekenis wordt bedoeld.
  7. Voor de notatie Cs zie verderop. De oriëntatie van de spiegel blijkt uit het verband.
  8. Voor het geval n = 1 is er nog een achirale symmetriegroep met chirale versie Dn, namelijk S4, ingedeeld bij n = 2.
  9. Voor het geval n = 1 zijn er dus niet twee maar drie achirale symmetriegroepen met chirale versie Dn.