Symmetrische functies van een polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De symmetrische functies van een polynoom f zijn de coëfficiënten van die polynoom, uitgedrukt in de nulpunten van f.

Zij

f(x) =a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\ldots+a_{n-1} x+a_n

een polynoom van de graad n in de variabele x. Dan is f(x) te schrijven als het product van de coëfficiënt a_0 en n factoren van de vorm x-x_i, waarin de x_i de nulpunten zijn van f. De nulpunten hoeven niet reëel te zijn.

f(x) =a_0 (x-x_1) (x-x_2) \cdot\ldots\cdot (x-x_n)

De n symmetrische functies behorend bij de polynoom f zijn de coëfficiënten a_1,a_2,\ldots,a_n uitgedrukt in de nulpunten x_i.

a_1=-1  (x_1+\ldots+x_n) ,
a_2=x_1 x_2+x_1 x_3+\ldots+x_1 x_n+x_2 x_3 + \ldots + x_2x_n+\ldots +x_{n-1} x_n=\sum_{i<j}x_ix_j ,

verder

a_k=(-1)^i  (x_1 x_2 \cdots x_k+x_1 x_2 \cdots x_{k-1} x_{k+1}+ \ldots +x_{n+1-k} \cdots x_{n-1} x_n)=(-1)^i \sum_{i_1<i_2<\ldots <i_k}x_{i_1}x_{i_2} \cdots x_{i_k}

tot en met

a_n=(-1)^n \cdot  x_1 \cdot\ldots\cdot x_n .


Vereenvoudigde schrijfwijze[bewerken]

De eerste coëfficiënt wordt 1 gekozen. De nulpunten worden tegengesteld van teken gekozen (-x1, ...., -xn) :

f(x)\ =
x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + \ a_{n-1} x + a_n \ =(x + x_1) (x +x_2) \cdot\ldots\cdot  (x +x_n)

Dan wordt het:

a_1\ =\ x_1 + \ldots + x_n\ ,
a_2\ =\ x_1 x_2\ + \ x_1 x_3\ + \ldots + x_{n-1} x_n ,

verder

a_i\ =\ x_1 x_2 \cdots x_i \ + \ x_1 x_2 \cdots x_{i-1} x_{i+1} \ + \ldots + \ x_{n+1-i} \cdots x_{n-1} x_n\

tot en met

a_n\ =\ x_1 \cdot\ldots\cdot x_n .


Symmetrische functies met alleen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen[bewerken]

Iedere uitdrukking in n variabelen xi, waarin weer alleen de bewerkingen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen voorkomen, en die symmetrisch is in de n variabelen, of anders: iedere symmetrische functie in n variabelen met alleen deze drie bewerkingen is met uitsluitend dezelfde drie bewerkingen ook te schrijven in de n symmetrische functies van een polynoom.

In het volgende voorbeeld wordt voor de vereenvoudigde schrijfwijze gekozen.

x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2 (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = a_1^2 - 2 a_2.