Symmetrische matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een symmetrische matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix die symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Een symmetrische matrix is gelijk aan zijn getransponeerde.

Definitie[bewerken]

Een vierkante matrix A noemt men symmetrisch als

A^\top=A

of in termen van de elementen, als voor alle r en k geldt dat

a_{rk} = a_{kr}

Eigenschappen[bewerken]

De lineaire afbeelding bepaald door een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. De karakteristieke veelterm heeft dan enkel reële oplossingen. Een symmetrische matrix is dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Immers, stel dat x en y eigenvectoren zijn bij verschillende eigenwaarden λ respectievelijk μ van de symmetrische matrix A, dan:

\lambda \mu \lang x,y \rang = \lang \lambda x, \mu y \rang= \lang Ax, Ay \rang = \lang x, A^\top Ay \rang=\mu^2\lang x,y \rang

Omdat \lambda\neq\mu kan dit alleen als:

\lang x,y \rang = 0

Voorbeeld[bewerken]

Voorbeelden van symmetrische matrices zijn:


\begin{bmatrix}
 0   &  5 & -1{,}7\\
 5   & 16 &  3  \\
-1{,}7 &  3 &  5  \end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
  8   &   2 &   9{,}8    & -47     \\
  2   &   0 & -24      &   7     \\
  9{,}8 & -24 &  82      &   3{,}142 \\
-47   &   7 &   3{,}142  & -35     \end{bmatrix}

Een speciaal type symmetrische matrix is een diagonaalmatrix, waarvan de eenheidsmatrix een eenvoudig voorbeeld is.

Zie ook[bewerken]